Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1125
NOTA Esta prueba se restringe a
una región sólida simple. Es mejor
dejar la prueba general para un curso
de cálculo avanzado.
■
N (hacia arriba)
N (horizontal)
N (hacia abajo)
x
Figura 15.55
z
S 2
: z = g 2
(x, y)
S 2
S 3
S 1
R
S 1
: z = g 1
(x, y)
y
DEMOSTRACIÓN
Si se hace Fx, y, z Mi Nj Pk, el teorema toma la forma
S F N dS S Mi N Nj N Pk N dS
M
x N
y P
z dV.
Q
Esto se puede demostrar verificando que las tres ecuaciones siguientes son válidas.
S Mi N dS M
x dV
Q
S Nj N dS N
y dV
Q
S Pk N dS P
z dV
Como las verificaciones de las tres ecuaciones son similares, sólo se verá la tercera. La
demostración se restringe a una región sólida simple, con superficie superior
z g 2 x, y
y superficie inferior
z g 1 x, y
Q
Superficie superior.
Superficie inferior.
cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y forman la región R. Si Q tiene una superficie
lateral como S 3 en la figura 15.55, entonces un vector normal es horizontal, lo cual
implica que Pk N 0. Por consiguiente, se tiene
S Pk N dS S 1 Pk N dS S 2 Pk N dS 0.
Sobre la superficie superior S 2 , el vector normal dirigido hacia el exterior apunta hacia arriba,
mientras que en la superficie inferior S 1 , el vector normal dirigido hacia el exterior
apunta hacia abajo. Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene lo siguiente.
S 1
S 2
Pk N dS R Px, y, g 1 x, yk g 1
R Px, y, g 1 x, y dA
Pk N dS R Px, y, g 2 x, yk g 2
R Px, y, g 2 x, y dA
Sumando estos resultados, se obtiene
x i g 1
y j k dA
x i g 2
y j k dA
S Pk N dS R Px, y, g 2 x, y Px, y, g 1 x, y dA
g
R
2
x, y
P
g 1
x, y z dz dA
P
z dV.
Q