Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 863
Demostración Para simplificar la notación, se escribe T en lugar de Tt, en lugar de
Tt, y así sucesivamente. Como T rr vv, se sigue que
v vT.
Por derivación, se obtiene
a v D t vT vT
D t vT vT T
D t vT v T N.
Regla del producto.
N TT
Como a se expresa mediante una combinación lineal de T y N, se sigue que a está en
el plano determinado por T y N.
T
A los coeficientes de T y de N en la demostración del teorema 12.4 se les conoce como
componentes tangencial y normal de la aceleración y se denotan por a T D t v y
a N v T. Por tanto, se puede escribir
at a T Tt a N Nt.
El teorema siguiente da algunas fórmulas útiles para
a N
y a T .
TEOREMA 12.5
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
DE LA ACELERACIÓN
Si rt es el vector posición de una curva suave C [para la cual Nt existe], entonces
las componentes tangencial y normal de la aceleración son las siguientes.
a T D t v a T v a
a N v T a N
v
v a
v
a 2 a T
2
Nótese que a N ≥ 0. A la componente normal de la aceleración también se le llama
componente centrípeta de la aceleración.
a • T > 0
a
T
N
a • N
T
a • N
N
a
a • T < 0
Las componentes tangencial y normal de la
aceleración se obtienen proyectando a
sobre T y N.
Figura 12.25
DEMOSTRACIÓN Nótese que a se encuentra en el plano de T y N. Por tanto, se puede usar
la figura 12.25 para concluir que, en cualquier instante t, las componentes de la proyección
del vector aceleración sobre T y sobre N están dadas por a T a T, y a N a N. ,
respectivamente. Además, como a v y T vv, se tiene
a T a T
T a
v
v a
v a
v .
En los ejercicios 96 y 97 se pide demostrar las otras partes del teorema.
NOTA Las fórmulas del teorema 12.5, junto con algunas otras fórmulas de este capítulo, se resumen
en la página 877.
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