Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

A128
Answers to Odd-Numbered Exercises
Soluciones de los ejercicios impares A-35
y
61. 63. a) 1, 3 b) 0
65. a) K → cuando x → 0 (No es máximo) b) 0
67. a) 1 2, ln 2 2 b) 0
69. a) ± arcsenh 1 , 1 b) 0
71. 0, 1 73. 2 K , 0
75. a)
b) Plano: K
Espacio: K
T t r t r t
r t r
3
t
77. K y ; Sí, por ejemplo, y x 4 tiene curvatura 0 en su mínimo
relativo (0,0). La curvatura es positiva en cualquier otro
punto de la curva.
79. Demostración
81. a) K
2 6x 2 1
16x 6 16x 4 4x 2 1 3 2
b) x 0: x 2 y
2
1 1
2
2 4
f
x 1: x 2 y
2
1 5
2 4
c)
π
−2π
s
−3
π
B
A
a
b
5
−2
dT
ds
x
x t
2
y t
2
z t
2
dt
3
T
La curvatura tiende a ser mayor cerca de los extremos de la
función y disminuye cuando x → ± . Sin embargo, f y K
no tienen los mismos números críticos.
Números críticos de f: x 0, ± 2 2 ±0.7071
Números críticos de K: x 0, ±0.7647, ±0.4082
1
83. a) 12.25 unidades b) 2 85 a 87. Demostraciones
1
89. a) 0 b) 0 91. 4 93. Demostración
95. K 1 4a csc 2 97. 3 327.5 lb
Mínimo: K 1 4a
No hay un máximo.
99. Demostración
101. Falso. Ver la exploración en la página 869. 103. Verdadero
105 a 111. Demostraciones
Ejercicios de repaso para el capítulo 12 (página 881)
1. a) Todos son reales, excepto 2 n , n es un entero
b) Continuo excepto en t 2 n , n es un entero
3. a) 0, b) Continuo para todo t > 0
s
−2
a
b
r
t dt
5. a) i 2k b) 3i 4j
c) 2c 1 i c 1 2 j c 1k
d) 2 ti t t 2 j t 3 3 k
y
z
7. 9.
−4 −2 −1 1 2 4
z
11. 13.
3
x
−2
2
−2
−4
1
4
2
1
3
2
1
1 2
x
y
4i k
15. r 1 t 3ti 4tj, 0 t 1
r 2 t 3i 4 t j, 0 t 4
r 3 t 3 t i, 0 t 3
17. r t 2 7t, 3 4t, 8 10t
(La respuesta no es única.)
19.
z
21.
x t, y t, z 2t 2
5
−3
2
1 2 3
y
3
x
23. a) 3i j b) 0 c) 4t 3t 2
d) 5i 2t 2 j 2t 2 k
e) 10t 1 10t 2 2t 1
8
f ) 3 t3 2t 2 i 8t 3 j 9t 2 2t 1 k
25. x t y y t son funciones crecientes en t t 0 y z t es una función
decreciente en t t 0 .
27. sen ti t sen t cos t j C
1
29. 2 t 1 t 2 ln t 1 t 2 C
32
31. 3 j 33. 2 e 1 i 8j 2k
35. r t t 2 1 i e t 2 j e t 4 k
37. v t 4i 3t 2 j k
v t 17 9t 4
a t 6tj
39. v t 3 cos 2 t sen t, 3 sen 2 t cos t, 3
v t 3 sen 2 t cos 2 t 1
a t 3 cos t 2 sen 2 t cos 2 t , 3 sen t 2 cos 2 t sen 2 t , 0
1
41. x t t, y t 16 8t, z t 2 2 t
r 4.1 0.1, 16.8, 2.05
43. 191.0 pies 45. 38.1 m s
2
x
x
3
2
1
3
2
1
z
2
1
1 2
1
y
y