Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.2
15.2
Integrales
Line Integrals
de línea
1081 1081
43.
y
In En Exercises los ejercicios 55–62, evaluate a 62, evaluar the integral la integral
C
x
44.
y
C
x
En In Exercises los ejercicios 45 and 45 y 46, 46, evaluate para cada curva hallar C F dr.
C F dr for each curve.
Analizar Discuss the la orientación orientation of de the la curva curve and y su its efecto effect sobre on the el value valor of de
la the integral. integral.
45. 45. Fx, Fx, y y x 2 i xyj xyj
a) (a) rr 1 t 2ti t 1j, 1 ≤ t ≤ 3
1 t 2ti t 1j, 1 t 3
b) (b) r 2 rt 23 ti 2 tj, 0 ≤ t ≤ 2
2 t 23 ti 2 tj, 0 t 2
46. 46. Fx, Fx, y y x 2 yi yi xy xy 32 32 j
a) (a) rr 1 t t 1i t 2 j, 0 ≤ t ≤ 2
1 t t 1i t 2 j, 0 t 2
b) (b) r 2 rt 1 2 cos ti 4 cos 2 tj, 0 ≤ t ≤ 2
2 t 1 2 cos ti 4 cos 2 tj, 0 t 2
En In Exercises los ejercicios 47– 47 50, a demonstrate 50, demostrar the la property propiedad that
F dr 0
C
C
independientemente regardless of the initial de cuáles and terminal sean los points puntos of C, inicial if the y tangent final de
C, vector si el rt vector is tangente orthogonal rt to es the ortogonal force field al F. campo de fuerzas F.
47. Fx, Fx, y y yi yi xj xj
C: C: rt rt ti ti 2tj
48. Fx, Fx, y y 3yi xj xj
C: C: rt rt ti ti t 3 j
49.
Fx, Fx, y y x x 3 2x 2 i i x
2 2 y j
C: C: rt rt ti ti t 2 j
50. Fx, Fx, y y xi xi yj yj
C: rt rt 3 sen
sin ti ti 3 cos tj tj
In Exercises 51–54, evaluate the line integral along the path C
En
given
los
by
ejercicios
x 2t,
51
y
a 54,
10t,
evaluar
where 0
la
integral
t 1.
de línea a lo largo de
la trayectoria C dada por x 2t, y 10t, donde 0 ≤ t ≤ 1.
51. x 3y 2 dy
52.
51. x 3y 2 dy
52.
C C
53. xy dx y dy
54.
53. xy dx y dy
54.
C C
C C
C C
x x 3y 3y2 2 dx
dx
3y 3y x x dx dx y y2 2 dy
dy
C C
2x
2x
y
y
dx
dx
1
x
x
1
3y
3y
dy
dy
a lo largo de la trayectoria C.
along the path C.
55. C: eje x desde x 0 hasta x 5
55. C: x-axis from x 0 to x 5
56. C: eje y desde y hasta y 2
56. C: y-axis from y 0 to y 2
57. C: los segmentos de recta de (0, 0) a (3, 0) y de (3, 0) a (3, 3)
57. C: line segments from 0, 0 to 3, 0 and 3, 0 to 3, 3
58. C: los segmentos de recta de (0, 0) a (0, 3) y de (0, 3) a
58. C: line
(2, 3)
segments from 0, 0 to 0, 3 and 0, 3 to 2, 3
59.
59.
C:
C:
arc
arco
on
sobre
y 1
y
1
x 2
from
x 2 desde
0, 1
0,
to 1,
1 hasta
0
1, 0
60.
60.
C:
C:
arc
arco
on
sobre
y x
y 32
from
x 32 desde
0, 0
0,
to 4,
0 hasta
8
4, 8
61.
61.
C:
C:
parabolic
trayectoria
path
parabólica
x t, y
x
2t 2 t,
, from
y
0,
2t 2 0
, desde
to 2, 8
0, 0 hasta
62. C: elliptic 2, 8 path x 4 sin t, y 3 cos t, from 0, 3 to 4, 0
62. C: trayectoria elíptica x 4 sen sin t, y 3 cos t, desde 0, 3 hasta
Lateral Surface Area In Exercises 63–70, find the area of the
4, 0
lateral surface (see figure) over the curve C in the xy-plane and
under the surface z fx, y, where
Área de una superficie lateral En los ejercicios 63 a 70, hallar el
área de la superficie lateral (ver la figura) sobre la curva C en el
Lateral plano xysurface y bajo area la superficie fx, z y ds. f x, y, donde
Área de la superficie z lateral f x, y ds.
Surface:
C
z = f(x, y)
z
C
Superficie:
z = f(x, y)
Lateral
surface
Superficie
(x i
, y i
)
Q
lateral
y
P
∆s
(x i
, y i
) i
Q
y
x
P C: Curve
∆s
in xy-plane
i
63. f x, y h, C: line from 0, 0 to 3, 4
C: curva en el plano xy
64. f x, y y, C: line from 0, 0 to 4, 4)
65. 63. ffx, x, y y xy, h,
C: recta x 2 desde y 2 0, 1 from 0 hasta 1, 0 3, to 4 0, 1
66. 64. ffx, x, y y xy,
y, C: recta C: x 2 desde y 2 0, 10from hasta 1, 4, 04)
to 0, 1
67. 65. ffx, x, y y h, xy, C: C: y x 2 1 y 2 x 2 from 1 desde 1, 0 1, to 00, hasta 1 0, 1
68. 66. ffx, x, y y yx 1,
y, C: C: yx 2 1 y 2 x 1from desde 1, 1, 0 0 to hasta 0, 10, 1
69. 67. ffx, x, y y xy, h,
C: y 1 x 2 desde from 1, 1, 0 0to
hasta 0, 1 0, 1
70. 68. ffx, x, y y xy 2 1, y 2 C: 4, y C: 1x x 2
ydesde 2 4 1, 0 hasta 0, 1
69. f x, y xy, C: y 1 x 2 desde 1, 0 hasta 0, 1
71. Engine Design
70. f x, y x 2 y 2 A tractor engine
4, C: x 2 has
y 2 a steel component with
4
a circular base modeled by the vector-valued function
71.
rt
Diseño
2
de
cos
motores
ti 2 sin
Un
tj. Its
motor
height
de tractor
is given
tiene
by
una
z
pieza
1 y 2 de
.
(All
acero
measurements
con una base
of
circular
the component
representada
are in
por
centimeters.)
la función vectorial
Find r(t) = the 2 cos lateral ti + surface 2 sen tj. area Su altura of the está component. dada por z 1 y 2 .
(a)
(b) (Todas The las component medidas en is centímetros.)
in the form of a shell of thickness 0.2
a) Hallar centimeter. el área Use de la the superficie result of lateral part (a) de to la pieza. approximate the
b) La amount pieza of tiene steel forma used de in its capa manufacture. de 0.2 centímetros de espesor.
(c) Utilizar Draw a el sketch resultado of the del component. inciso a) para aproximar la cantidad
de acero empleada para su fabricación.
c) Hacer un dibujo de la pieza.