Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares 731
SECCIÓN 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares 731
10.4 Coordenadas polares y gráficas polares
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Comprender el sistema de coordenadas polares.
Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa.
Trazar la gráfica de una ecuación dada en forma polar.
Hallar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar.
Identificar diversos tipos de gráficas polares especiales.
O
r = distancia dirigida
Coordenadas polares
Figura 10.36
θ = ángulo dirigido
P = (r, θ)
Eje
polar
Coordenadas polares
Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en
el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas
han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un
sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado
polo (u origen), y a partir de O se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se
muestra en la figura 10.36. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas
polares (r, ), como sigue.
r distancia dirigida de O a P
ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje
—
polar hasta el segmento OP
La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que
en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias
concéntricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo.
π
2
θ =
π
3
π
( 2,
3)
π
2
π
2
π
1 2 3
0
π
2 3
0
π
2 3
0
3π
2
3π
2
θ = −
π
6
π
( 3, −
6)
3π
2
θ =
11π
6
11π
( 3,
6 )
a)
Figura 10.37
b) c)
COORDENADAS POLARES
El matemático al que se le atribuye haber
usado por primera vez las coordenadas
polares es James Bernoulli, quien las introdujo
en 1691. Sin embargo, ciertas evidencias
señalan la posibilidad de que fuera Isaac
Newton el primero en usarlas.
En coordenadas rectangulares, cada punto x, y tiene una representación única. Esto
no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas r, y r, 2
representan el mismo punto [ver los incisos b) y c) de la figura 10.37]. También, como r
es una distancia dirigida, las coordenadas r, y r, representan el mismo
punto. En general, el punto r, puede expresarse como
o
r, r,
r, r,
2n
2n 1
donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por 0, , donde es
cualquier ángulo.