Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 741
SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 741
10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares
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Hallar el área de una región limitada por una gráfica polar.
Hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares.
Hallar la longitud de arco de una gráfica polar.
Hallar el área de una superficie de revolución (forma polar).
θ
r
El área de un sector circular es
Figura 10.49
a)
π
2
β
A 1 2r 2 .
r = f( θ)
α
0
Área de una región polar
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una
región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos
se usan sectores circulares como elementos básicos del área. En la figura 10.49,
1
obsérvese que el área de un sector circular de radio r es 2r 2 , siempre que esté dado en
radianes.
Considérese la función dada por r f, donde f es continua y no negativa en el
intervalo ≤ ≤ . La región limitada por la gráfica de f y las rectas radiales y
se muestra en la figura 10.50a. Para encontrar el área de esta región, se hace una
partición del intervalo , en n subintervalos iguales
0 < 1 <
A continuación, se aproxima el área de la región por medio de la suma de las áreas de los
n sectores, como se muestra en la figura 10.50b.
Radio Radius del i-ésimo of ith sector fi
Ángulo Central central angle del i-ésimo of ith sector
Tomando el límite cuando n → se obtiene
1
A lím lim
n→ 2 n
fi 2
i1
2
1 f 2 d
2 < . . . <
A n
lo cual conduce al teorema siguiente.
n1 <
n .
n
i1 1 2 fi 2
π
2
β
θ
n − 1
r = f( θ)
θ
2
θ
1
α
0
TEOREMA 10.13 ÁREA EN COORDENADAS POLARES
Si f es continua y no negativa en el intervalo , , 0 < ≤ 2, entonces el
área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de r f entre las rectas radiales
y está dada por
A 1 f
2
2 d
1 r 0 < ≤ 2.
2
2 d.
b)
Figura 10.50
NOTA La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica
de una función continua no positiva. Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si f toma
valores tanto positivos como negativos en el intervalo , .
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