Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.6 Superficies en el espacio 819
La curva generadora o directriz de una superficie de revolución no es única. Por ejemplo,
la superficie
x 2 z 2 e 2y
puede generarse al girar la gráfica de x e y en torno al eje y o la gráfica de
sobre el eje y, como se muestra en la figura 11.64.
z e y
z
Superficie:
x 2 + z 2 = e −2y
z
Curva generadora o directriz
en el plano yz
z = e −y
y
y
x
x
Curva generadora o directriz
en el plano xy
x = e −y
Figura 11.64
EJEMPLO 6
Hallar una directriz para una superficie de revolución
Hallar una directriz y el eje de revolución de la superficie dada por
x 2 3y 2 z 2 9.
Directriz en el
plano xy
x = 9 − 3y 2
z
Directriz en el
plano yz
z = 9 − 3y 2
Solución Se sabe ahora que la ecuación tiene una de las formas siguientes.
x 2 y 2 rz 2
y 2 z 2 rx 2
x 2 z 2 ry 2
Girada en torno al eje z.
Girada en torno al eje x.
Girada en torno al eje y.
Como los coeficientes de y son iguales, se debe elegir la tercera forma y escribir
x 2
z 2
y
x 2 z 2 9 3y 2 .
El eje y es el eje de revolución. Se puede elegir una directriz de las trazas siguientes.
x
x 2 9 3y 2
z 2 9 3y 2
Traza en el plano xy.
Traza en el plano yz.
Figura 11.65
Superficie:
x 2 + 3y 2 + z 2 = 9
Por ejemplo, usando la primer traza, la directriz es la semielipse dada por
x 9 3y 2 . Directriz.
La gráfica de esta superficie se muestra en la figura 11.65.