Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

984 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
984 Chapter 14 Multiple Integration
14.1 Integrales iteradas y área en el plano
14.1 Iterated Integrals and Area in the Plane
■ Evaluar una integral iterada.
■ Utilizar Evaluate una an iterated integral integral. iterada para hallar el área de una región plana.
■ Use an iterated integral to find the area of a plane region.
NOTA
NOTE In Chapters En los capítulos 14 and 15, 14 you y 15 will se
study estudiarán several applications varias aplicaciones of integration de la
involving integración functions de funciones of several de variables. varias
Chapter variables. 14 is Este much capítulo like Chapter es muy 7 in similar
that al it capítulo surveys the 7 ya use que of ilustra integration el uso tode la
find integración plane areas, para volumes, hallar áreas surface planas, areas,
moments, volúmenes, and centers áreas de of superficies, mass.
momentos y centros de masa. ■
Iterated
Integrales
Integrals
iteradas
In En Chapter el capítulo 13, 13 you se saw vio cómo that it derivar is meaningful funciones to de differentiate varias variables functions con of respecto several a una
variables manteniendo with respect constantes to one variable las demás while variables. holding the Empleando other variables un procedimiento constant. Yousimi-
lar se integrate pueden integrar functions funciones of several de variables varias variables. by a similar Por ejemplo, procedure. dada For la example, derivada parcial if
can
you are f x x, given y the 2xypartial derivative
f
entonces, x x, y 2xy
considerando y constante, se puede integrar con respecto a x para obtener
then, by considering y constant, you can integrate with respect to x to obtain
fx, y f x x, y dx Integrar con respecto a x.
fx, y f x x, y dx Integrate with respect to x.
2xy dx
Mantener y constante.
2xy dx
Hold y constant.
y 2x dx
y 2x dx
yx 2 Cy
Sacar y como factor constante.
Factor out constant y.
Una primitiva (o antiderivada) de 2x es x 2 .
yx 2 Cy Antiderivative of 2x is x 2 .
es una función de y.
x 2 y Cy. Cy. Cy
Cy
is a function of y.
The La “constante” “constant” de of integration, integración, Cy, C(y), es is a una function función of de y. y. In En other otras words, palabras, by integrating al integrar con
with respecto respect a x, to se x, puede you are recobrar able to ƒ(x, recover y) sólo fx, parcialmente. y only partially. Cómo The recobrar total recovery totalmente of a una
function función de of x y and y a ypartir from de its sus partial derivadas derivatives parciales is a topic es un you tema will que study se estudiará in Chapter en 15. el capítulo
now, 15. Por we ahora, are more lo que concerned interesa es with extender extending las integrales definite definidas integrals a to funciones functions de of varias
For
several variables. variables. Por ejemplo, For al instance, considerar by y considering constante, se ypuede constant, aplicar you el teorema can apply fundamental the
Fundamental del cálculo para Theorem evaluarof Calculus to evaluate
2y
2y
2xy dx x 2 y
1
2y 2 y 1 2 y 4y 3 y.
1
x
is es the la variable Replace Sustituir x
by por The El resultado
is
of de integration integración the los limits límites of a es function una función
and y y es y is fija. fixed. integration. de integración. of de y. y.
Similarly, De manera you similar can integrate se puede with integrar respect con respecto y by holding a y, manteniendo x fixed. Both x fija. procedures Ambos procedimientos
se resumen as follows. como
are
summarized sigue.
h 2 y
h 2 y
h 1 y
h 1 y
g 2
x
g 2
x
g 1 x
g 1 x
h 2 y
h 2 y
f x x, y dx fx, y
f x x, y dx fx, y
fh
fh 2 y, y fh
2 y, y fh 1 y, y
1 y, y
h 1 y
h 1 y
g x 2 g x
f 2
y x, y dy fx, y
f y x, y dy fx, y
fx, g
fx, 2 x fx, g
g 2 x fx, 1 x
g 1 x
g 1 x
g 1 x
With respect to x
Con respecto a x.
With respect to y
Con respecto a y.
Note
Nótese
that
que
the
la
variable
variable
of
de
integration
integración
cannot
no puede
appear
aparecer
in either
en ninguno
limit of
de
integration.
los límites
For
de integración.
Por
instance, it makes
ejemplo,
no sense
no tiene
to write
ningún sentido escribir
0
x
x
0
y dx.
dx.