Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

800 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
11.5 Rectas y planos en el espacio
■ Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una recta en el espacio.
■ Dar una ecuación lineal para representar un plano en el espacio.
■ Dibujar el plano dado por una ecuación lineal.
■ Hallar las distancias entre puntos, planos y rectas en el espacio.
P(x 1 , y 1 , z 1 )
x
z
PQ = tv
Q(x, y, z)
v = 〈a, b, c〉
La recta L y su vector de dirección v
Figura 11.43
L
y
Rectas en el espacio
En el plano se usa la pendiente para determinar una ecuación de una recta. En el espacio
es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.
En la figura 11.43 se considera la recta L a través del punto Px 1 , y 1 , z 1 y paralela al
vector v a, b, c. El vector v es un vector de dirección o director de la recta L, y a, b
y c son los números de dirección (o directores). Una manera de describir la recta L es
decir que consta de todos los puntos Qx, y, z para los que el vector PQ \
es paralelo a v.
Esto significa que PQ \ es un múltiplo escalar de v, y se puede escribir a PQ \ t v, donde
t es un escalar (un número real).
PQ \ x x 1 , y y 1 , z z 1 at, bt, ct t v
Igualando los componentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones paramétricas de
una recta en el espacio.
TEOREMA 11.11
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA RECTA EN EL ESPACIO
Una recta L paralela al vector v a, b, c y que pasa por el punto Px 1 , y 1 , z 1 se
representa por medio de las ecuaciones paramétricas
x x 1 at,
y y 1 bt,
y
z z 1 ct.
z
Si todos los números directores a, b y c son distintos de cero, se puede eliminar el
parámetro t para obtener las ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta.
(1, −2, 4)
−4
4
2
−2
−4
x x 1
a
EJEMPLO 1
y y 1
b
z z 1
c
Ecuaciones simétricas.
Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas
x
4
2
L
2
4
v = 〈2, 4, −4〉
El vector v es paralelo a la recta L
Figura 11.44
y
Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por el punto
1, 2, 4 y es paralela a v 2, 4, 4.
Solución Para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta, se usan las
coordenadas x 1 1, y 1 2, y z 1 4, y los números de dirección a 2, b 4 y
c 4 (ver figura 11.44).
x 1 2t,
Ecuaciones paramétricas.
Como a, b y c son todos diferentes de cero, un conjunto de ecuaciones simétricas es
x 1
2
y 2
4
y 2 4t,
z 4
4 .
z 4 4t
Ecuaciones simétricas.