Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

Solución de problemas 831
SP
Solución de problemas
1. Utilizando vectores, demostrar la ley de los senos: Si a, b y c son
los tres lados del triángulo de la figura, entonces
sen A
a
c
A
B
sen B
b
b
a
sen C
c .
C
x
2. Considerar la función f x t 4 1 dt.
0
a) Usar una herramienta de graficación para representar la función
en el intervalo 2 x 2.
b) Hallar un vector unitario paralelo a la gráfica de f en el punto
(0, 0).
c) Hallar un vector unitario perpendicular a la gráfica de f en el
punto (0, 0).
d) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto (0, 0).
3. Utilizando vectores, demostrar que los segmentos de recta que
unen los puntos medios de los lados de un paralelogramo forman
un paralelogramo (ver la figura).
4. Utilizando vectores, demostrar que las diagonales de un rombo
son perpendiculares (ver la figura).
5. a) Hallar la distancia más corta entre el punto Q2, 0, 0 y la
recta determinada por los puntos P 1 0, 0, 1 y P 2 0, 1, 2.
b) Hallar la distancia más corta entre el punto Q2, 0, 0 y el segmento
de recta que une los puntos P 1 0, 0, 1 y P 2 0, 1, 2.
6. Sea P 0 un punto en el plano con vector normal n. Describir el conjunto
de puntos P en el plano para los que n PP \ 0 es el ortogonal
a n PP \ 0.
7. a) Hallar el volumen del sólido limitado abajo por el paraboloide
z x 2 y 2 y arriba por el plano z 1.
b) Hallar el volumen del sólido limitado abajo por el paraboloide
elíptico z x2
y arriba por el plano z k,
a y2
2 b 2
donde k > 0.
c) Mostrar que el volumen del sólido del inciso b) es igual a la
mitad del producto del área de la base por la altura (ver la
figura).
8. a) Usar el método de los discos para encontrar el volumen de la
esfera x 2 y 2 z 2 r 2 .
b) Hallar el volumen del elipsoide
9. Dibujar la gráfica de cada ecuación dada en coordenadas esféricas.
a) r 2 sen f
b) r 2 cos f
10. Dibujar la gráfica de cada ecuación dada en coordenadas cilíndricas.
a) r 2 cos
b)
x
z
z r 2 cos 2
11. Demostrar la propiedad siguiente del producto vectorial.
u v w z u v zw u v wz
12. Considerar la recta dada por las ecuaciones paramétricas
x t 3,
Base
Altura
y 1 2t 1,
z 2t 1
y el punto 4, 3, s para todo número real s.
y
x 2
a 2 y2
b 2 z2
c 2 1.
a) Dar la distancia entre el punto y la recta como una función
de s.
b) Usar una herramienta de graficación para representar la
función del inciso a). Usar la gráfica para encontrar un
valor de s tal que la distancia entre el punto y la recta sea
mínima.
c) Usar el zoom de una herramienta de graficación para amplificar
varias veces la gráfica del inciso b). ¿Parece que la gráfica
tenga asíntotas oblicuas? Explicar. Si parece tener asíntotas
oblicuas, encontrarlas.