Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1129
S
α
(x 0
, y 0
, z 0
)
x
Figura 15.60
a) Fuente: div F > 0
z
Región
sólida Q
y
Flujo y el teorema de la divergencia
Con el fin de comprender mejor el teorema de la divergencia, considérense los dos miembros
de la ecuación
div F dV.
De acuerdo con la sección 15.6 se sabe que la integral de flujo de la izquierda determina
el flujo total de fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Esto puede
aproximarse sumando el flujo que fluye a través de fragmentos pequeños de la superficie.
La integral triple de la derecha mide este mismo flujo de fluido a través de S, pero desde
una perspectiva muy diferente; a saber, calculando el flujo de fluido dentro (o fuera) de
cubos pequeños de volumen V i . El flujo en el cubo i-ésimo es aproximadamente
El flujo en el i-ésimo cubo div Fx i, y i , z i V i
para algún punto x i , y i , z i en el i-ésimo cubo. Nótese que en un cubo en el interior de Q,
la ganancia (o pérdida) de fluido a través de cualquiera de sus seis caras es compensada
por una pérdida (o ganancia) correspondiente a través de una de las caras de un cubo adyacente.
Después de sumar sobre todos los cubos en Q, el único flujo de fluido que no se cancela
uniendo cubos es el de las caras exteriores en los cubos del borde. Así, la suma
aproxima el flujo total dentro (o fuera) de Q, y por consiguiente a través de la superficie
S.
Para ver qué se quiere dar a entender con divergencia de F en un punto, considérese
como el volumen de una esfera pequeña S de radio y centro x 0 , y 0 , z 0 , contenida en
la región Q, como se muestra en la figura 15.60. Aplicando el teorema de la divergencia a
resulta
Flujo Flux de F of a través F across de S S
Q div F dV
V
S
S F N dS
Q
n
div Fx i , y i , z i V i
i1
donde es el interior de S. Por consiguiente, se tiene
Q
div Fx 0 , y 0 , z 0 , V
flux flujo of de FFacross a través S de S
div Fx 0 , y 0 , z 0
V
V
→ 0,
y, tomando el límite cuando se obtiene la divergencia de F en el punto
x 0 , y 0 , z 0 .
b) Sumidero: div F < 0
c) Incompresible: div F 0
Figura 15.61
flux flujo of de FFacross a través S de S
div Fx 0 , y 0 , z 0 lím lim
→0 V
flujo por flux unidad per de unit volumen en at x 0 , y 0 , z 0
V
En un campo vectorial el punto x 0 , y 0 , z 0 es clasificado como una fuente, un sumidero o
incompresible, como sigue.
1. Fuente, si div F > 0
Ver figura 15.61a.
2. Sumidero, si div F < 0
Ver figura 15.61b.
3. Incompresible, si div F 0 Ver figura 15.61c.
NOTA En hidrodinámica, una fuente es un punto por el que se considera que se introduce fluido
adicional a la región ocupada por el fluido. Un sumidero es un punto en el que se considera que
escapa fluido.
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