Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

934 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL
Sea f una función de dos variables x y y, y sea u cos i sen sin j un vector unitario.
Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u, que se denota
D u f, es
fx t cos , y t sen sin fx, y
D u fx, y lím lim
t→0 t
siempre que este límite exista.
Calcular derivadas direccionales empleando esta definición es lo mismo que encontrar
la derivada de una función de una variable empleando el proceso del límite (sección 2.1).
Una fórmula “de trabajo” más simple para hallar derivadas direccionales emplea las
derivadas parciales y f y .
f x
TEOREMA 13.9 DERIVADA DIRECCIONAL
Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en
la dirección del vector unitario u cos i sen sin j es
D u fx, y f x x, y cos f y x, y sen sin .
DEMOSTRACIÓN Dado un punto fijado (x 0
, y 0
), sea x x 0
t cos y sea y y 0
t sen . Ahora, se hace gt fx, y. Como ƒ es diferenciable, se puede aplicar la regla de
la cadena del teorema 13.6 para obtener
gt f x x, yxt f y x, yyt f x x, y cos f y x, y sen sin .
Si t 0, entonces x x 0 y y y 0 , por tanto
g0 f x x 0 , y 0 cos f y x 0 , y 0 sen sin .
De acuerdo con la definición de gt, también es verdad que
gt g0
g0 lím lim
t→0 t
fx
lim 0 t cos , y 0 t sen sin fx 0 , y 0
lím
.
t→0 t
Por consiguiente, D u fx 0 , y 0 f x x 0 , y 0 cos f y x 0 , y 0 sen sin .
z
Hay una cantidad infinita de derivadas direccionales en un punto dado de una superficie,
una para cada dirección especificada por u, como se muestra en la figura 13.45. Dos
de éstas son las derivadas parciales y f y .
f x
x
El vector u
Figura 13.45
(x, y)
Superficie:
z = f(x, y)
y
1. En la dirección del eje x positivo (q 0): u cos 0 i sen 0 j i
D i fx, y f x x, y cos 0 f y x, y sen sin 0 f x x, y
2. En la dirección del eje y positivo
2: u cos
D j fx, y f x x, y cos
2 f yx, y sen sin
2 f yx, y
2 i sen sin 2 j j