Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1052 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
14 Ejercicios de repaso
En los ejercicios 1 y 2, evaluar la integral.
1.
2.
En los ejercicios 3 a 6, trazar la región de integración. Después,
evaluar la integral iterada. Cambiar el sistema de coordenadas
cuando sea conveniente.
3.
4.
5.
6.
Área En los ejercicios 7 a 14, dar los límites para la integral doble
R f x, y dA
para ambos órdenes de integración. Calcular el área de R haciendo
f x, y 1 e integrando.
7. Triángulo: vértices
8. Triángulo: vértices
9. El área mayor entre las gráficas de x 2 y 2 25 y x 3
10. Región acotada por las gráficas de y 6x x 2 y y x 2 2x
11. Región encerrada por la gráfica de y 2 x 2 x 4
12. Región acotada por las gráficas de x y 2 1, x 0, y 0 y
y 2
13. Región acotada por las gráficas de x y 3 y x y 2 1
14. Región acotada por las gráficas de x y y x 2y y 2
Para pensar En los ejercicios 15 y 16, dar un argumento geométrico
para la igualdad dada. Verificar la igualdad analíticamente.
1 22y
15.
2
2 x2
x y dx dy x y dy dx
16.
x
2
1
y
2y
1
0
0
2
0
3
0
0
3
0
2
0
x ln y dy
x 2 y 2 dx
1x
2x
x 2
9x 2
24y
2
0 24y 2
2y
5y
3y2
3x 2y dy dx
x 2 2y dy dx
4x dy dx
dx dy
3
e xy dx dy
0, 0, 3, 0, 0, 1
0, 0, 3, 0, 2, 2
00
2x3
00
22 8x
2 2
2 0
e xy dy dx
x y dy dx
Volumen En los ejercicios 17 y 18, utilizar una integral múltiple
y un sistema de coordenadas adecuado para hallar el volumen
del sólido.
5
30
5x
17. Sólido acotado por las gráficas de z x 2 y 4,
y 0, x 0 y x 4
e xy dy dx
z 0,
CAS
18. Sólido acotado por las gráficas de z x y, z 0, x 0,
x 3, y y x
Valor promedio En los ejercicios 19 y 20, encontrar el promedio
de f(x, y) sobre la región R.
19. f(x) 16 x 2 y 2
R: rectángulo con vértices (2, 2), (2, 2), (2, 2), (2, 2)
20. f(x) 2x 2 y 2
R: cuadrado con vértices (0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3)
21. Temperatura promedio La temperatura en grados Celsius
sobre la superficie de una placa metálica es
T(x, y) 40 6x 2 y 2
donde x y y están medidos en centímetros. Estimar la temperatura
promedio si x varía entre 0 y 3 centímetros y y varía entre 0
y 5 centímetros.
22. Ganancia promedio La ganancia para la empresa P gracias al
marketing de dos bebidas dietéticas es
P 192x 576y x 2 5y 2 2xy 5 000
donde x y y representan el número de unidades de las dos bebidas
dietéticas. Usar un sistema algebraico por computadora
para evaluar la doble integral alcanzando la ganancia promedio
semanal si x varía entre 40 y 50 unidades y y varía entre 45 y
60 unidades.
Probabilidad En los ejercicios 23 y 24, hallar k tal que la función
sea una función de densidad conjunta y hallar la probabilidad
requerida, donde
d b
Pa ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d f x, y dx dy.
23.
24.
Aproximación En los ejercicios 25 y 26, determinar qué valor
se aproxima mejor al volumen del sólido entre el plano xy y la
función sobre la región. (Hacer la elección a la vista de un dibujo
del sólido y no realizando cálculo alguno.)
25.
26.
f x, y
kxye xy ,
0,
P0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
f x, y
kxy,
0,
P0 ≤ x ≤ 0.5, 0 ≤ y ≤ 0.25
f x, y x y
R: triángulo con vértices 0, 0, 3, 0, 3, 3
9
2
a) b) 5 c) 13 d) 100 e) 100
f x, y 10x 2 y 2
R: círculo limitado o acotado por x 2 y 2 1
ca
x ≥ 0, y ≥ 0
en elsewhere
resto
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
elsewhere en resto
a) b) 15 c) d) 3 e) 15
2
3