Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1039
θ = 0
z
Integrar con respecto a r
θ = 0
z
Integrar con respecto a
θ = 0
z
Integrar con respecto a z
Figura 14.64
θ = π 2
θ = π 2
θ = π 2
Para visualizar un orden de integración determinado ayuda contemplar la integral iterada
en términos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega una dimensión
al sólido. Por ejemplo, en el orden dr d dz, la primera integración ocurre en la dirección
r, aquí un punto barre (recorre) un rayo. Después, a medida que aumenta, la recta barre
(recorre) un sector. Por último a medida que z aumenta, el sector barre (recorre) una cuña
sólida como se muestra en la figura 14.64.
EJEMPLO 1
EXPLORACIÓN
Volumen de un sector paraboloide En las
páginas 997, 1006 y 1028, se pidió resumir
las formas, conocidas para hallar
el volumen del sólido acotado por
el paraboloide
z a 2 x 2 y 2 ,
a > 0
y el plano xy. Ahora ya se conoce un método
más. Utilícese para hallar el volumen del sólido.
Comparar los diferentes métodos. ¿Cuáles
son las ventajas y desventajas de cada uno?
Hallar el volumen empleando coordenadas cilíndricas
Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera x 2 y 2 z 2 4 el cilindro
r 2 sin sen , como se muestra en la figura 14.65.
−a
x
a
a 2
z
a
y
Esfera:
x 2 + y 2 + z 2 = 4
2
z
Solución Como x 2 y 2 z 2 r 2 z 2 4, los límites o cotas de z son
4 r 2 ≤ z ≤ 4 r 2 .
Sea R la proyección circular del sólido sobre el plano . Entonces los límites o cotas de
R son 0 ≤ r ≤ 2 sen sin y 0 ≤ ≤ . Por tanto, el volumen de Q es
r
x
3
Figura 14.65
3
R
Cilindro:
r = 2 sen θ
y
V
2
2
2
0
4
3
32
3
32
3
0
0
0
0
0
0
2 sen
2
2
2
2
0
2 sen
0
2
2 sen
sen
16
9 3 4
9.644.
4 r 2
4 r 2 r dz dr d
4 r 2
2r 4 r 2 dr d
2 sen
2
3 4 r 2 3 2
8 8 cos 3 d
4 r 2 r dz dr d
1 cos 1 sen 2 d
sen 3
3
0
0
2
d