Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1016 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
Momentos de inercia
M x
M y
Los momentos y utilizados en la determinación del centro de masa de una lámina
se suelen llamar primeros momentos con respecto a los ejes x y y. En cada uno de los
casos, el momento es el producto de una masa por una distancia.
M x Ryx, y dA
M y Rxx, y dA
Distancia Masa Distancia Masa
al eje x
al eje y
Ahora se introducirá otro tipo de momento, el segundo momento o momento de inercia
de una lámina respecto de una recta. Del mismo modo que la masa es una medida de la
tendencia de la materia a resistirse a cambios en el movimiento rectilíneo, el momento de
inercia respecto de una recta es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a
cambios en el movimiento de rotación. Por ejemplo, si una partícula de masa m está a una
distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como
I md 2 (masa)(distancia) 2 .
Igual que ocurre con los momentos de masa, se puede generalizar este concepto para
obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes x
y y. Estos segundos momentos se denotan por I x e I y , y en cada caso el momento es el producto
de una masa por el cuadrado de una distancia.
NOTA En el caso de una lámina en
el plano xy, I 0 representa el momento
de inercia de la lámina con respecto al
eje z. El término “momento polar de
inercia” se debe a que en el cálculo se
utiliza el cuadrado de la distancia
polar r.
I x Ry 2 x, y dA
Cuadrado de Masa Cuadrado de Masa
la distancia
la distancia
al eje x
al eje y
A la suma de los momentos e I y se le llama el momento polar de inercia y se denota
por I 0 .
EJEMPLO 4 Hallar el momento de inercia
Hallar el momento de inercia respecto del eje x de la lámina del ejemplo 3.
I x
I y Rx 2 x, y dA
I 0 Rx 2 y 2 x, y dA
Rr 2x, y dA
■
Solución
2
I x
0
4
k 2
2
4
k 2
De acuerdo con la definición de momento de inercia, se tiene
4x
2
2
2
4 k 256x3
256x 96x5
3 5 16x7
7 x9
9 2 2
32,768k
315 .
y 4 4x2
dx
0
y 2 ky dy dx
256 256x 2 96x 4 16x 6 x 8 dx