Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 723
x = 2t − πsen t
y = 2 − π cos t
y Recta tangente (t = π/2)
6
4
EJEMPLO 3
La cicloide alargada dada por
x 2t sen sin t
Una curva con dos rectas tangentes en un punto
y
y 2 cos t
se corta a sí misma en el punto (0, 2), como se ilustra en la figura 10.32. Hallar las ecuaciones
de las dos rectas tangentes en este punto.
−π
2
−2
(0, 2)
Recta tangente (t = − π /2)
Esta cicloide alargada tiene dos rectas tangentes
en el punto (0, 2)
Figura 10.32
π
x
Solución Como x 0 y y 2 cuando t ±2, y
se tiene dydx 2 cuando t 2 y dydx 2 cuando t 2. Por tanto,
las dos rectas tangentes en (0, 2) son
y 2
Recta tangente cuando t .
2 x 2
y
dy
dx dydt
dxdt
y 2
2 x.
sen sin t
2 cos t
Recta tangente cuando t .
2
Si dydt 0 y dxdt 0 cuando t t 0 , la curva representada por x f t y
y gt tiene una tangente horizontal en f t 0 , gt 0 . Así, en el ejemplo 3, la curva dada
tiene una tangente horizontal en el punto 0, 2 (cuando t 0). De manera semejante,
si dxdt 0 y dydt 0 cuando t t 0 , la curva representada por x = f(t) y y = g(t)
tiene una tangente vertical en f t 0 , gt 0 .
Longitud de arco
Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria
de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para determinar
la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria.
Recuérdese de la sección 7.4 que la fórmula para hallar la longitud de arco de una
curva C dada por y hx en el intervalo x 0 , x 1 es
s x 1
x 1
x 0
1 hx 2 dx
x 0 1 dy
Si C está representada por las ecuaciones paramétricas x f t y y gt, a ≤ t ≤ b, y
si dxdt ft > 0, se puede escribir
1
s x
1 dy
dx 2 x
dx
1
1 dydt
dxdt 2 dx
x 0
dx 2 dx.
x 0
b
dxdt
b
2
a
b
dx dt 2
dy
dt 2 dt
a dxdt2 dydt 2
a
ft 2 gt 2 dt.
dx
dt dt