Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas 823
3
2
z
( x, y, z) = (1, 3, 2)
r = 2
EJEMPLO 2
Conversión de coordenadas rectangulares
a coordenadas cilíndricas
Convertir el punto x, y, z 1,3, 2 a coordenadas cilíndricas.
x
1
z = 2
1 π
2
3
θ =
3
2
3
( ) ( )
π
( r, θ, z) = 2, , 2 o −2, 4 π
, 2
3 3
Figura 11.68
y
Solución
tan 3
z 2
Usar las ecuaciones de conversión de rectangulares a cilíndricas.
r ±1 3 ±2
Hay dos posibilidades para r y una cantidad infinita de posibilidades para . Como se
muestra en la figura 11.68, dos representaciones adecuadas del punto son
2, 3 , 2
4
2, 3 , 2 .
n arctan 3
r > 0 y en el cuadrante I.
r < 0 y
en el cuadrante III.
3 n
Las coordenadas cilíndricas son especialmente adecuadas para representar superficies
cilíndricas y superficies de revolución en las que el eje z sea el eje de simetría, como se
muestra en la figura 11.69.
x 2 + y 2 = 9
r = 3
z
x 2 + y 2 = 4z
r = 2 z
z
x 2 + y 2 = z 2 x 2 + y 2 − z 2 = 1
r = z
r 2 = z 2 + 1
z
z
x
y
x
y
x
y
x
y
Cilindro
Figura 11.69
Paraboloide Cono Hiperboloide
Los planos verticales que contienen el eje z y los planos horizontales también tienen ecuaciones
simples de coordenadas cilíndricas, como se muestra en la figura 11.70.
z
Plano
vertical:
θ = c
z
Plano
horizontal:
z = c
x
θ = c
y
y
x
Figura 11.70