Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

998 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
En los ejemplos 2 y 3, los problemas se podrían haber resuelto empleando cualquiera
de los órdenes de integración porque las regiones eran vertical y horizontalmente simples.
En caso de haber usado el orden dx dy se habrían obtenido integrales con dificultad muy
parecida. Sin embargo, hay algunas ocasiones en las que uno de los órdenes de integración
es mucho más conveniente que otro. El ejemplo 4 muestra uno de estos casos.
EJEMPLO 4
Comparación de diferentes órdenes de integración
Superficie:
f x, y) e
)
y = 0
2
x
z
1
Hallar el volumen de la región sólida R acotada por la superficie
f x, y e x2 Superficie.
y los planos z 0, y 0, y x y x 1, como se muestra en la figura 14.20.
z = 0
1
x
1
y
x = 1 y = x
La base está acotada por y 0, y x, y
x 1.
Figura 14.20
Solución La base de R en el plano xy está acotada por las rectas y 0, x 1 y
y x. Los dos posibles órdenes de integración se muestran en la figura 14.21.
1
y
R:
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x
(1, 1)
1
y
R:
0 ≤ y ≤ 1
y ≤ x ≤ 1
(1, 1)
∆y
∆x
1
(1, 0)
x
1
(1, 0)
x
1 x
0 0
e −x2 dy dx
1 1
0
y
e −x2 dx dy
Figura 14.21
Estableciendo las integrales iteradas correspondientes, se ve que el orden dx dy requiere la
primitiva (o antiderivada) e x2 dx, la cual no es una función elemental. Por otro lado con
el orden dy dx se obtiene la integral
1 x
1 x
e x2 dy dx e x2 y
0
dx
0
00
0
1
xe x2 dx
1 2 ex2 1 0
1 2 1 e 1
e 1
2e
0.316.
NOTA
Tratar de utilizar un integrador simbólico para evaluar la integral del ejemplo 4.
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