Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

786 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
Cosenos directores
z
k
γ
α
β
v
j
y
En el caso de un vector en el plano, se ha visto que es conveniente medir su dirección en
términos del ángulo, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje x
positivo hasta el vector. En el espacio es más conveniente medir la dirección en términos
de los ángulos entre el vector v distinto de cero y los tres vectores unitarios i, j y k, como
se muestra en la figura 11.26. Los ángulos , y son los ángulos de dirección de v, y
cos , cos y cos son los cosenos directores de v. Como
v i v i cos v cos
i
y
x
Ángulos de dirección
Figura 11.26
v i v 1 , v 2 , v 3 1, 0, 0 v 1
se sigue que cos v 1 v. Mediante un razonamiento similar con los vectores unitarios
j y k, se tiene
cos v 1
v
es el ángulo entre v e i.
cos v 2
v
cos v 3
v .
es el ángulo entre v y j.
es el ángulo entre v y k.
Por consiguiente, cualquier vector v distinto de cero en el espacio tiene la forma normalizada
v
v v 1
v i v 2
v j v 3
v k cos i cos j cos k
y como vv es un vector unitario, se sigue que
cos 2 cos 2 cos 2 1.
EJEMPLO 3
Cálculo de los ángulos de dirección
Hallar los cosenos y los ángulos directores del vector v 2i 3j 4k, y mostrar que
cos 2 cos 2 cos 2 1.
α = ángulo entre v e i
β = ángulo entre v y j
γ = ángulo entre v y k
z
x
4
3
2
1
4
3
2
1
α
γ
1
β
Ángulos de dirección dev
Figura 11.27
v = 2i+ 3j + 4k
2
3
4
y
Solución Como v 2 2 3 2 4 2 29, se puede escribir lo siguiente.
cos v 1
v 2
29
cos v 2
v 3
29
cos v 3
v 4
29
Ángulo entre v e i.
Ángulo entre v y j.
Ángulo entre v y k.
Además, la suma de los cuadrados de los cosenos directores es
cos 2 cos 2 cos 2 4
29 9
29 16
29
Ver figura 11.27.
29
29
1.
68.2
56.1
42.0