Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.3 El producto escalar de dos vectores 783
11.3 El producto escalar de dos vectores
■ Usar las propiedades del producto escalar de dos vectores.
■ Hallar el ángulo entre dos vectores usando el producto escalar.
■ Hallar los cosenos directores de un vector en el espacio.
■ Hallar la proyección de un vector sobre otro vector.
■ Usar los vectores para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante.
EXPLORACIÓN
Interpretación de un producto
escalar En la figura se muestran varios
vectores en el círculo unidad.
Hallar los productos escalares de varios
pares de vectores. Después
encontrar el ángulo entre cada par
usado. Hacer una conjetura sobre la
relación entre el producto escalar de
dos vectores y el ángulo entre los
vectores.
120°
90°
60°
El producto escalar
Hasta ahora se han estudiado dos operaciones con vectores —la suma de vectores y el producto
de un vector por un escalar— cada una de las cuales da como resultado otro vector.
En esta sección se presenta una tercera operación con vectores, llamada el producto
escalar. Este producto da como resultado un escalar, y no un vector.
DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de u u 1 , u 2 y v v 1 , v 2 es
u v u 1 v 1 u 2 v 2 .
El producto escalar de u u 1 , u 2 , u 3 y v v 1 , v 2 , v 3 es
u v u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 .
150°
180°
30°
0°
NOTA El producto escalar de dos vectores recibe este nombre debido a que da como resultado un
escalar; también se le llama producto interno de los dos vectores.
■
210°
240°
270°
300°
330°
TEOREMA 11.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
Sean u, v y w vectores en el plano o en el espacio y sea c un escalar.
u v v u
1. Propiedad conmutativa.
u v w u v u w
2. Propiedad distributiva.
cu v cu v u cv
3.
4. 0 v 0
5. v v v 2
DEMOSTRACIÓN
Entonces
Para demostrar la primera propiedad, sea u u 1 , u 2 , u 3 y v v 1
, v 2
, v 3
.
u v u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3
v 1 u 1 v 2 u 2 v 3 u 3
v u.
Para la quinta propiedad, sea v v 1 , v 2 , v 3 . Entonces
2
v v v 12 v 22 v 3
2
v 12 v 22 v 3 2
v 2 .
Se dejan las demostraciones de las otras propiedades al lector.