Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

778 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
y
Recordar que en la definición de la multiplicación por un escalar se vio que múltiplos
escalares positivos de un vector v distinto de cero tienen la misma dirección que v, mientras
que múltiplos negativos tienen dirección opuesta a la de v. En general, dos vectores
distintos de cero u y v son paralelos si existe algún escalar c tal que u cv.
u
u = 2v
w = −v
DEFINICIÓN DE VECTORES PARALELOS
v
w
x
Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que
u cv.
Vectores paralelos
Figura 11.21
Por ejemplo, en la figura 11.21, los vectores u, v y w son paralelos porque u 2v y
w v.
EJEMPLO 4
Vectores paralelos
El vector w tiene punto inicial 2, 1, 3 y punto final 4, 7, 5. ¿Cuál de los vectores
siguientes es paralelo a w?
a) u 3, 4, 1
b) v 12, 16, 4
Solución Empezar expresando w mediante sus componentes.
w 4 2, 7 1, 5 3 6, 8, 2
a) Como u 3, 4, 1 1 2 6, 8, 2 1 2 w, se puede concluir que u es paralelo
a w.
b) En este caso, se quiere encontrar un escalar c tal que
x
z
P
(1, −2, 3) 4
2
(2, 1, 0)
8
6
Q
2
(4, 7, −6)
Los puntos P, Q y R están en la misma
recta
Figura 11.22
4
R
6
8
y
Como no hay un c para el cual la ecuación tenga solución, los vectores no son paralelos.
EJEMPLO 5
Uso de vectores para determinar puntos colineales
Determinar si los puntos P1, 2, 3, Q2, 1, 0, y R4, 7, 6 son colineales.
Solución Los componentes de PQ \
y PR \
son
y
12, 16, 4 c6, 8, 2.
12 6c → c 2
16
8c → c 2
4 2c → c 2
PQ \ 2 1, 1 2, 0 3 1, 3, 3
PR \ 4 1, 7 2, 6 3 3, 9, 9.
Estos dos vectores tienen un punto inicial común. Por tanto, P, Q y R están en la misma
recta si y sólo si PQ \
y PR \
son paralelos. PQ \
y PR \
son paralelos ya que PR \ 3 PQ \ , como
se muestra en la figura 11.22.