Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

elipse
103. El cometa Halley Quizás el más conocido de todos los cometas,
Halley’s el cometa Comet Halley, Probably tiene una the órbita most elíptica famous con of el all Sol comets, vés
ellipse en at un a point punto P
makes forma ángulos equal angles iguales with con lines las rectas through a tra-
P
103. en uno
and de the Pfoci y de (see los figure). focos (ver [Hint: la figura). (1) Find [Sugerencia: the slope of 1) the encontrar
tangent
la line pendiente at P, (2) de find la recta the tangente slopes of en the P, lines 2) encontrar through las P and tan-
de Halley’s sus focos. comet, Se estima has an que elliptical su distancia orbit máxima with the al sun Sol at es one de
35.29 focus. UA Its (unidad maximum astronómica distance from gentes de las rectas a través de P y cada uno de los focos y 3)
92.956 the sun 10 is 6 approximately
millas) y que
each focus, and (3) use the formula for the tangent of the angle
su 35.29 distancia AU (1 mínima astronomical es de 0.59 unit UA. 92.956 Hallar la excentricidad 10 6 miles), and usar
de
between la fórmula two lines.] de la tangente del ángulo entre dos rectas.]
la its órbita. minimum distance is approximately 0.59 AU. Find the
y
y
eccentricity of the orbit.
x 104. La ecuación de una elipse con centro en el origen puede expresarse
The equation of an ellipse with its center at the origin can be a 2 +
2 y 2
Tangent Recta
104. b 2 = 1
line tangente
written as
(x , )
(0, 10)
x 2
a y 2
P = (x 0 , y 0 ) (−a, 0)
2 a 2 1 e 2 1. β
x 2
α
(a, 0)
x
Mostrar
a y 2
2 a 2 que
1
cuando
e 2 1. e → 0, y a permanece constante, la elipse
Show se aproxima that as a e una → circunferencia.
0, with a remaining fixed, the ellipse
(0, −10)
x
(−c, (−c, 0) 0) (c, (c, 0) 0)
SECCIÓN 10.1 10.1Conics Cónicas and Calculus y cálculo 709 709
101. Explorer 55 55 El On 20 November de noviembre 20, de 1975, 1975, the Estados United Unidos States Área 108. 9x y volumen 4y 2 En 36xlos ejercicios 24y 36109 0y 110, hallar a) el área de
lanzó launched el satélite the research de investigación satellite Explorer 55. 55. Its Sus low puntos and high bajo la región limitada por la elipse, b) el volumen y el área de la
y points alto sobre above la the superficie surface de of la Earth Tierra were fueron 96 miles de 96 and millas 1865 y
1miles. 865 millas. Find the Encontrar eccentricity la excentricidad of its elliptical de su orbit. órbita elíptica.
superficie Area and Volume del sólido In generado Exercises por 109 revolución and 110, find de (a) la región the area alrededor
the region de su bounded eje mayor by (esferoide the ellipse, prolato), (b) the volume y c) el volumen and surface y el
of
área area de of the la superficie solid generated del sólido by revolving generado the por region revolución about de its la
Para CAPSTONE discusión
región major alrededor axis (prolate de su spheroid), eje menor and (esferoide (c) the volume oblato). and surface
102. Considerar the la ecuación equation
area of the
x
109.
4 y solid generated by revolving the region about its
minor axis (oblate 2
1 1 spheroid).
9x 2 4y 2 36x 24y 36 0.
Clasificar la gráfica de la ecuación como un círculo,
x
(a) Classify the graph of the equation as a circle, a parabola,
110. 109. 16 una parábola, una elipse o una hipérbola.
4 y 2
19 1
an ellipse, or a hyperbola.
x
110.
16 y 2
9 1
(b) Cambiar Change the el 4y término -term in 4y 2 the en equation la ecuación to 4ypor 2 . Classify 4y 2 . 111. Longitud de arco Usar las funciones de integración de una
111. Arc Length Use the integration capabilities of a graphing
Clasificar the graph la of gráfica the new de equation. la nueva ecuación.
herramienta de graficación para aproximar, con una precisión
utility to approximate to two-decimal-place accuracy the
de dos cifras decimales, la integral elíptica que representa el
(c) Cambiar Change el the término 9x 2 -term 9x 2 in en the la ecuación original original equation por to
4x 2 .
elliptical integral representing the circumference of the ellipse
perímetro de la elipse
Clasificar Classify the la gráfica graph of de the la nueva new equation. ecuación.
x 2
Describir una manera en que se podría cambiar la ecua-
25 y 2
(d) Describe one way you could change the original
49 1. ción equation original so para that its que graph su gráfica is a parabola. fuera una parábola.
112. Probar Prove Theorem el teorema 10.4 10.4 by mostrando showing that que la the recta tangent tangente line to a una an
x 2
Figura para 112 Figura para 113
100 y2
25 1. Figure for 112 Figure for 113
x 2
100 y2
25 1. 113. Geometría Geometry The El área area de of la the elipse ellipse presentada in the figure en la is figura twice es the el
La partícula abandona la órbita en el punto 8, 3 y viaja a lo doble area of del the área circle. del What círculo. is ¿Qué the length longitud of the tiene major el eje axis? mayor?
largo The particle de una recta leaves tangente the orbit a at la the elipse. point ¿En 8, qué 3punto and travels cruzará in
Conjetura
la a partícula straight line el eje tangent y? to the ellipse. At what point will the 114. Conjecture
particle cross the y-axis?
a) (a) Mostrar Show that que the la ecuación equation de of una an ellipse elipse puede can be expresarse written ascomo
106. Volumen El tanque de agua de un carro de bomberos mide 16
106. pies Volume de largo, The y water sus secciones tank a transversales fire truck is 16 son feet elipses. long, and Hallar its
x x h h 2 y k2
y k2
el cross volumen sections de agua are ellipses. que hay Find en el the tanque volume cuando of water está parcialmente
partially lleno filled como tank se as muestra shown en in la the figura. figure.
in the
a 1 a 2 1 e 2 1.
b) (b) Mediante Use a graphing una herramienta utility to graph de graficación, the ellipse representar la
elipse
105. Considerar approaches una a circle. partícula que se mueve en el sentido de las
105. manecillas Consider a del particle reloj siguiendo traveling clockwise la trayectoria on the elíptica elliptical path
x 2 2 y 32
x 2 2
4 y 32
41 e 2
4 41 e 2 1
5 pies
for e 0.95, e 0.75, e 0.5, e 0.25, and e 0.
3 pies
para e 0.95, e 0.75, e 0.5, e 0.25, y e 0.
(c) Use the results of part (b) to make a conjecture about the
c) Usar change los in resultados the shape del of the inciso ellipse b) para as e hacer approaches una conjetura 0.
acerca de la variación en la forma de la elipse a medida que
9 pies
115. Find an equation of the hyperbola such that for any point on
e se aproxima a 0.
the hyperbola, the difference between its distances from the
In Exercises 107 and 108, determine the points at which dy/dx is
En los ejercicios 107 y 108, determinar los puntos en los que 115. Hallar points 2, una 2ecuación and 10, de 2 la is hipérbola 6. tal que, para todo punto,
zero or does not exist to locate the endpoints of the major and
dy/dx es cero, o no existe, para localizar los extremos de los ejes la diferencia entre sus distancias a los puntos (2, 2) y (10, 2)
minor axes of the ellipse.
116. Find an equation of the hyperbola such that for any point on
mayor y menor de la elipse.
sea 6.
the hyperbola, the difference between its distances from the
107. 16x 2 9y 2 96x 36y 36 0
116. Hallar una ecuación de la hipérbola tal que, para todo punto, la
107. 16x 2 9y 2 points 3, 0 and 3, 3 is 2.
96x 36y 36 0
diferencia entre sus distancias a los puntos (3, 0) y
108. 9x 2 4y 2 36x 24y 36 0
(3, 3) sea 2.