Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1066 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
1066 Chapter 15 Vector Analysis
NOTA La divergencia puede verse
como un tipo de derivadas de F ya que,
NOTE para campos Divergence de velocidades can be viewed de partículas,
of mide derivative el ritmo of Fde
in flujo that, de for partículas vector
as a
type
fields por representing unidad de volumen velocities en of un moving punto.
particles, En hidrodinámica the divergence (el measures estudio del the
rate movimiento of particle flow de fluidos), per unit un volume campo de
at a velocidades point. In hydrodynamics de divergencia (the nula study se
of fluid llama motion), incompresible. a velocity En field estudio that is de
divergence electricidad free y is magnetismo, called incompressible. un campo
In the vectorial study of de electricity divergencia and nula magnetism, se llama
a vector el solenoidal. field that is divergence free is ■
called solenoidal.
Divergencia de un campo vectorial
Se
Divergence
ha visto que el
of
rotacional
a Vector
de un
Field
campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otra
función importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una función
escalar. You have seen that the curl of a vector field F is itself a vector field. Another important
function defined on a vector field is divergence, which is a scalar function.
DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL
DEFINITION OF DIVERGENCE OF A VECTOR FIELD
La divergencia de Fx, y Mi Nj es
The divergence of Fx, y Mi Nj is
div Fx, y Fx, y M
Plano.
x N
div Fx, y Fx, y M y .
Plane
x N
y .
La divergencia de Fx, y, z Mi Nj Pk es
The divergence of Fx, y, z Mi Nj Pk is
div Fx, y, z Fx, y, z M
Espacio.
x N
y P
div Fx, y, z Fx, y, z M z . Space
x N
y P
z .
Si div 0, entonces se dice que F es de divergencia nula.
If div F 0, then F is said to be divergence free.
La notación de producto escalar usada para la divergencia proviene de considerar
como The un dot operador product diferencial, notation used como for sigue. divergence comes from considering as a
differential operator, as follows.
Fx, y, z
x i y j z k Mi Nj Pk
Fx, y, z
x i y j z k Mi Nj Pk
M
x N
y P
M z
x N
y P
z
EJEMPLO 9 Divergencia de un campo vectorial
EXAMPLE 9 Finding the Divergence of a Vector Field
Hallar la divergencia en 2, 1, 1 para el campo vectorial
Find the divergence at 2, 1, 1 for the vector field
Fx, y, z 3 2 zi 2 zj 2 yk.
Fx, y, z x 3 y 2 zi x 2 zj x 2 yk.
Solución Solution The La divergencia divergence of de F
is es
div Fx, Fx, y, z z x x3 z y x2 z z x2 y x x3 y 2 z y x2 z z x2 y 3x 2 y 2 z.
En At the el punto point 2, 2, 1, 1, 1, la the divergencia divergence es is
div F2, 1, 1 32 2 1 2 1 12.
■
Hay There muchas are many propiedades important importantes properties of de the la divergence divergencia and y el curl rotacional of a vector de un field campo
vectorial F (see Exercises F (ver ejercicios 83– 89). One 83 a that 89). is Se used establece often is una described uso in muy Theorem frecuente 15.3. en You el teorema are
15.3. asked En to prove el ejercicio this theorem 90 se pide in Exercise demostrar 90. este teorema.
THEOREM 15.3 DIVERGENCE AND CURL
TEOREMA 15.3 RELACIÓN ENTRE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
If Fx, y, z Mi Nj Pk is a vector field and M, N, and P have continuous
Si second Fx, y, partial z Mi derivatives, Nj then Pk es un campo vectorial y M, N y P tienen segundas
derivadas parciales continuas, entonces
divcurl F 0.
div (rot F) 0.