Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.4 Centro de masa y momentos de inercia 1013
EJEMPLO 2
Hallar la masa empleando coordenadas polares
2
1
y
(x, y)
x 2 + y 2 = 4
R
Hallar la masa de la lámina correspondiente a la porción en el primer cuadrante del
círculo
x 2 y 2 4
donde la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia entre el punto y el origen,
como se muestra en la figura 14.36.
Solución
En todo punto (x, y), la densidad de la lámina es
1
2
x
x, y kx 0 2 y 0 2
kx 2 y 2 .
Densidad en x, y: x, y kx 2 y 2
Figura 14.36
Como 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ 4 x 2 , la masa está dada por
m Rkx 2 y 2 dA
2
0
0
4x 2
kx 2 y 2 dy dx.
Para simplificar la integración, se puede convertir a coordenadas polares, utilizando los
límites o cotas 0 ≤ ≤ 2 y 0 ≤ r ≤ 2. Por tanto, la masa es
2 2
m Rkx 2 y 2 dA kr 2 r dr d
0 0
2
2
0 0
2
8k
8k
0
30
2
3
0
4k
3 .
kr 3
3 2 0
2
kr 2 dr d
d
d
TECNOLOGÍA En muchas ocasiones, en este texto, se han mencionado las ventajas
de utilizar programas de computación que realizan integración simbólica. Aun cuando
se utilicen tales programas con regularidad, hay que recordar que sus mejores ventajas
sólo son aprovechables en manos de un usuario conocedor. Por ejemplo, nótese la simplificación
de la integral del ejemplo 2 cuando se convierte a la forma polar.
Forma rectangular
2
00
4x 2
kx 2 y 2 dy dx
Forma polar
2 2
0 0
kr 2 dr d
Si se tiene acceso a programas que realicen integración simbólica, se recomienda utilizarlos
para evaluar ambas integrales. Algunos programas no pueden manejar la primera
integral, pero cualquier programa que calcule integrales dobles puede evaluar la segunda
integral.