Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

974 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
974 Chapter 13 Functions of Several Variables
EJEMPLO 3
Multiplicadores de Lagrange y tres variables
Elipsoide:
Ellipsoid: 2x 2 + y 2 + 3z 2 = 147
2x 2 + y 2 + 3z 2 = 147
z
z
8
8
16
y
y16
−16
−16
24 x
24
Punto de tangencia
x
Point (3, of −9, tangency −4)
Plano:
(3, −9, −4)
Plane: 2x − 3y − 4z = 49
2x − 3y − 4z = 49
Figura 13.80
Figure 13.80
z
Relative
z
40 maxima
(−1, −3, 24) Máximo
32 40 relativo
(−1, −3, 24)
(−1, 3, 24)
24 32
(−1, 3, 24)
16 24
Relative
8
16
minimum
Mínimo
8
(1, 0, 2)
relativo
2
3 y
(1, 0, 2) 4 4
2
x (
3 y
4
10, 0, 6.675 4
x
Figure 13.81
Figura 13.81
(
10, 0, 6.675
(
(
Hallar el valor mínimo Lagrange de Multipliers and Three Variables
Find fthe x, y, minimum z 2x 2 value y 2 of 3z 2 Función objetivo.
sujeto f x, a la y, restricción z 2x 2 o yligadura
2 3z 2 2x 3y Objective 4z function 49.
subject to the constraint 2x 3y 4z 49.
Solución Sea gx, y, z 2x 3y 4z 49. Entonces, como
Solution Let gx, y, z 2x 3y 4z 49. Then, because
f x, y, z 4xi 2yj 6zk y gx, y, z 2i 3j 4k
f x, y, z 4xi 2yj 6zk and gx, y, z 2i 3j 4k
se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.
you obtain the following system of equations.
4x 4x 2
x x, y, z g x x, y, .
2
f
z
x x, y, z g x x, y, z
2y 3 3
f y x, x, y, z z
g g y x, x, y, z z.
6z
6z
4 4
f z x, y, z g
z x, y, z g z x, y, z
z x, y, z.
2x 3y 4z 49
Constraint
2x 3y 4z 49
Restricción.
The solution of this system is x 3, y 9, and z 4. So, the optimum value of
La f issolución de este sistema es x 3, y 9 y z 4. Por tanto, el valor óptimo de f es
f 3, 9, 4 23 2 9 2 34 2
147.
De From la función the original original function y de la and restricción, constraint, resulta it is clear clarothat
que f x, f x, y, y, zz
has no no tiene maximum. máximo. Por
tanto, So, the el optimum valor óptimo value de of ff
determinado determined above arriba is es a un minimum. mínimo.
■
Al A graphical principio interpretation de esta sección of se constrained dio una interpretación optimization problems gráfica del in problema two variables de optimización
was given con at restricciones the beginning para of dos this variables. section. In Con three tres variables, la the interpretación interpretation es issimi-
similar, sólo except que se usan that level superficies surfaces de are nivel used en lugar instead de of curvas level de curves. nivel. Así, For en instance, el ejemplo in 3,
las Example superficies 3, the de level nivel surfaces de f son of elipsoides f are ellipsoids centradas centered el origen, at the y la origin, restricción and the
constraint
2x 3y 4z 49
2x 3y 4z 49
es un plano. El valor mínimo de f está representado por la elipsoide tangente al plano de
la is a restricción, plane. The como minimum se muestra value of en fla is figura represented 13.80. by the ellipsoid that is tangent to the
constraint plane, as shown in Figure 13.80.
EJEMPLO 4 Optimización en el interior de una región
EXAMPLE 4 Optimization Inside a Region
Hallar los valores extremos de
Find the extreme values of
f x, x, y y x 2 2y 2 2x 3
Función Objective objetivo. function
sujeto subject a to la the restricción constraint x 2 x 2 y 2 y≤ 2 10. 10.
Solución
Solution To
Para
solve
resolver
this problem,
este problema,
you can
se
break
puede
the
dividir
constraint
la restricción
into two
en
cases.
dos casos.
a. For points on the circle x 2 y 2 10, you can use Lagrange multipliers to find
a)
that
Para
the
los
maximum
puntos en
value
el círculo
of f x,
x 2 y
y
is 2
24—this
10, se
value
pueden
occurs
usar los
at 1,
multiplicadores
3 and at
de
1,
Lagrange
3.
para
In a
hallar
similar
que
way,
el
you
valor
can
máximo
determine
de f
that
x, y
the
es
minimum
24; este valor
value
se
of
presenta
f x, y
en
1, 3 y en 1, 3. De manera similar, se puede determinar que el valor mínimo
is approximately 6.675—this value occurs at 10, 0.
de f x, y es aproximadamente 6.675; este valor se presenta en 10, 0.
b. For points inside the circle, you can use the techniques discussed in Section 13.8
b) Para to conclude los puntos that interiores the function al círculo, has a relative se pueden minimum usar las of 2 técnicas at the point analizadas 1, 0. en la sección
13.8 para concluir que la función tiene un mínimo relativo de 2 en el punto (1, 0).
By combining these two results, you can conclude that f has a maximum of 24 at
Combinando 1, ±3
estos a minimum dos resultados, of 2 at 1, se 0, puede as shown concluir in Figure que f13.81. tiene un máximo de ■24 en
1, ±3 y un mínimo de 2 en (1, 0), como se muestra en la figura 13.81.