Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

768 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
Cualquier conjunto de vectores (junto con un conjunto de escalares) que satisfaga las
ocho propiedades dadas en el teorema 11.1 es un espacio vectorial.* Las ocho propiedades
son los axiomas del espacio vectorial. Por tanto, este teorema establece que el conjunto
de vectores en el plano (con el conjunto de los números reales) forma un espacio vectorial.
The Granger Collection
TEOREMA 11.2
LONGITUD DE UN MÚLTIPLO ESCALAR
Sea v un vector y sea c un escalar. Entonces
c v c v .
c es el valor absoluto de c.
EMMY NOETHER (1882-1935)
La matemática alemana Emmy Noether
contribuyó a nuestro conocimiento de los
sistemas axiomáticos. Noether generalmente
se reconoce como la principal matemática de
la historia reciente.
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para más información acerca de Emmy
Noether, ver el artículo “Emmy
Noether, Greatest Woman
Mathematician” de Clark Kimberling
en The Mathematics Teacher.
DEMOSTRACIÓN
Como cv cv 1 , cv 2 , se tiene que
cv cv 1 , cv 2 cv 1 2 cv 2 2
c 2 v 12 c 2 v 2
2
c 2 v 12 v 22
c v 1 2 v 2
2
c v .
En muchas aplicaciones de los vectores, es útil encontrar un vector unitario que tenga
la misma dirección que un vector dado. El teorema siguiente da un procedimiento para
hacer esto.
TEOREMA 11.3
VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE v
Si v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector
u
v
v 1
v v
tiene longitud 1 y la misma dirección que v.
DEMOSTRACIÓN Como 1 v es positivo y u 1 v v, se puede concluir que u tiene la
misma dirección que v. Para ver que u 1, se observa que
u
1
v v
1
v v
1
v v
1.
Por tanto, u tiene longitud 1 y la misma dirección que v.
Al vector u del teorema 11.3 se le llama un vector unitario en la dirección de v. El proceso
de multiplicar v por para obtener un vector unitario se llama normalización de v.
1 v
* Para más información sobre espacios vectoriales, ver Elementary Linear Algebra, 6a. ed., por
Larson, Edwards y Falvo (Boston: Houghton Mifflin Company, 2009).