Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1026 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
Para discusión
38. Responder las siguientes preguntas acerca del área de superficie
S sobre una superficie dada por una función positiva
z f (x, y) sobre una región R en el plano xy. Explicar cada
respuesta.
a) ¿Es posible para S igualar el área de R?
b) ¿Puede S ser mayor que el área de R?
c) ¿Puede S ser menor que el área de R?
41. Diseño industrial Una empresa produce un objeto esférico de
25 centímetros de radio. Se hace una perforación de 4 centímetros
de radio a través del centro del objeto. Calcular a) el volumen
del objeto y b) el área de la superficie exterior del objeto.
42. Modelo matemático Un ranchero construye un granero de
dimensiones 30 por 50 pies. En la figura se muestra la forma
simétrica y la altura elegidas para el tejado.
25
z
(0, 25)
(5, 22)
(10, 17)
39. Hallar el área de la superficie del sólido intersección de los cilindros
x 2 z 2 1 y y 2 z 2 1 (ver la figura).
z
(15, 0)
20
y
z
y 2 + z 2 = 1
2
−3
3
3
x −2
x 2 + z 2 = 1
y
y
r
r
x
z = k x 2 + y 2 , k > 0
Figura para 39 Figura para 40
40. Mostrar que el área de la superficie del cono z kx 2 y 2 ,
k > 0 sobre la región circular x 2 y 2 ≤ r 2 en el plano xy es
r 2 k 2 1 (ver la figura).
50
x
a) Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de
graficación para hallar un modelo de la forma z ay 3 by 2
cy d para el perfil del techo.
b) Utilizar las funciones de integración numérica de una herramienta
de graficación y el modelo del inciso a) para aproximar
el volumen del espacio de almacenaje en el granero.
c) Utilizar las funciones de integración numérica de una herramienta
de graficación y el modelo del inciso a) para aproximar
el área de la superficie del techo.
d) Aproximar la longitud de arco de la recta del techo y calcular
el área de la superficie del techo multiplicando la longitud de
arco por la longitud del granero. Comparar los resultados y las
integraciones con los encontrados en el inciso c).
PROYECTO DE TRABAJO
Capilaridad
Una propiedad muy conocida de los líquidos se llama “capilaridad”,
y consiste en que ascienden por conductos verticales muy estrechos.
La figura muestra dos placas que forman una cuña estrecha dentro de
un recipiente con líquido. La superficie superior del líquido toma
una forma hiperbólica dada por
z
9 pulg
θ = 2 arctan (0.01)
z
k
x 2 y 2
donde x, y y z están medidas en pulgadas. La constante k depende del
ángulo de la cuña, del tipo de líquido y del material de las placas.
13 pulg
a) Hallar el volumen del líquido que ha ascendido por la cuña.
(Tomar k 1. )
b) Hallar el área de la superficie horizontal del líquido que ha ascendido
por la cuña.
Adaptación de un problema sobre capilaridad de “Capillary Phenomena”
de Thomas B. Greenslade, Jr., Physics Teacher, mayo de
1992. Con autorización del autor.
x
y