Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1127
EJEMPLO 2
Verificación del teorema de la divergencia
S 2
: z = 4 − x 2 − y 2
4
z
N 2
Sea Q la región sólida entre el paraboloide
z 4 x 2 y 2
y el plano xy. Verificar el teorema de la divergencia para
Fx, y, z 2zi xj y 2 k.
2 2
x
S N 1
= −k
1
: z = 0
R: x 2 + y 2 ≤ 4
Figura 15.57
y
Solución En la figura 15.57 se ve que el vector normal a la superficie que apunta hacia
afuera es N 1 k, mientras que el vector normal a la superficie S 2 que apunta hacia
afuera es
2xi 2yj k
N 2
4x 2 4y 2 1 .
Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene
S F N dS
2
2
2
2
2
0 dy
2
0.
Por otro lado, como
S 1 F N 1 dS S 2 F N 2 dS
S 1 F k dS S 2 F
R y 2 dA R 4xz 2xy y 2 dA
4y
2
2
4y
2
2
4y
2
2
4y
2
2
2
2 8x2 x 4 2x 2 y 2 x 2 4y
y 2
4y 2
div F x 2z y x z y2 0 0 0 0
se puede aplicar el teorema de la divergencia para obtener el resultado equivalente
div F dV
S F N dS
Q
4y 2 y 2 dx dy
4y 2 4xz 2xy dx dy
4y 2 4x4 x 2 y 2 2xy dx dy
4y 2 16x 4x 3 4xy 2 2xy dx dy
Q
0 dV 0.
2xi 2yj k
4x 2 4y 2 1 dS
2 4y
2
2
4y 2 4xz 2xy y 2 dx dy
dy
S 1