Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1085
EJEMPLO 2
Aplicación del teorema fundamental
de las integrales de línea
−2
(−1, 4)
C
−1
F(x, y) = 2xyi + (x 2 − y)j
y
4
3
2
1
1
(1, 2)
Aplicación del teorema fundamental de las
integrales de línea, C F dr.
Figura 15.20
2
x
Evaluar F dr, donde C es una curva suave a trozos desde 1, 4 hasta 1, 2 y
C
Fx, y 2xyi x 2 yj
como se muestra en la figura 15.20.
Solución
Por el ejemplo 6 de la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde
fx, y x 2 y y2
2 K.
Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental de las integrales de
línea, se sigue que
C
F dr f1, 2 f1, 4
1 2 2 22
4.
2 12 4 42
2
Nótese que no es necesario incluir una constante K como parte de ƒ, ya que se cancela por
sustracción.
EJEMPLO 3
Aplicación del teorema fundamental
de las integrales de línea
F(x, y, z) = 2xyi + (x 2 + z 2 )j + 2yzk
z
Evaluar F dr, donde C es una curva suave a trozos desde (1, 1, 0) hasta (0, 2, 3) y
C
3
2
(0, 2, 3)
Fx, y, z 2xyi x 2 z 2 j 2yzk
como se muestra en la figura 15.21.
x
2
1
1
(1, 1, 0)
Aplicación del teorema fundamental de las
integrales de línea, C F dr.
Figura 15.21
C
2
y
Solución Por el ejemplo 8 en la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde
fx, y, z x 2 y yz 2 K. Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental
de las integrales de línea, se sigue que
C
F dr f0, 2, 3 f1, 1, 0
0 2 2 23 2 1 2 1 10 2
17.
En los ejemplos 2 y 3, es importante notar que el valor de la integral de línea es el
mismo para cualquier curva suave C que tenga los puntos inicial y final dados. Así, en el
ejemplo 3, trátese de evaluar la integral de línea de la curva dada por
rt 1 ti 1 tj 3tk.
Se obtendrá
1
F dr 30t C 2 16t 1 dt
0
17.