Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.8 Extremos de funciones de dos variables 959
Los extremos absolutos de una función se pueden presentar de dos maneras. Primero,
algunos extremos relativos también resultan ser extremos absolutos. Así, en el ejemplo 1,
f 2, 3 es un mínimo absoluto de la función. (Por otro lado, el máximo relativo encontrado
en el ejemplo 3 no es un máximo absoluto de la función.) Segundo, los extremos
absolutos pueden presentarse en un punto frontera del dominio. Esto se ilustra en el ejemplo
5.
x
3
Superficie:
f(x, y) = sen xy
Máximo
absoluto
Mínimo
absoluto
Figura 13.72
1
z
( π, 1)
Mínimo
absoluto
1
π
xy = 2
y
Dominio:
0 ≤ x ≤ π
0 ≤ y ≤ 1
EJEMPLO 5 Encontrar extremos absolutos
Hallar los extremos absolutos de la función
f x, y sen sin xy
en la región cerrada dada por 0 ≤ x ≤
y 0 ≤ y ≤ 1.
Solución La expresión de las derivadas parciales
f x x, y y cos xy y f y x, y x cos xy
permite ver que todo punto en la hipérbola dada por xy 2 es un punto crítico. En
todos estos puntos el valor de f es
f x, y sen sin
2 1
el cual se sabe que es el máximo absoluto, como se muestra en la figura 13.72. El otro
punto crítico de f que se encuentra en la región dada es 0, 0. Este punto da un mínimo
absoluto de 0, ya que
0 ≤ xy ≤
implica que
0 ≤ sen sin xy ≤ 1.
Para localizar otros extremos absolutos se deben considerar las cuatro fronteras de la
región formadas por las trazas, de los planos verticales x 0, x = p, y = 0 y y = 1. Al hacer
esto, se encuentra que sen xy 0 en todos los puntos del eje x, en todos los puntos del
eje y y en el punto , 1. Cada uno de estos puntos es un mínimo absoluto de la superficie,
como se muestra en la figura 13.72.
Los conceptos de extremos relativos y puntos críticos pueden extenderse a funciones
de tres o más variables. Si todas las primeras derivadas parciales de
w f x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n
existen, puede mostrarse que se presenta un máximo o un mínimo relativo en (x 1
, x 2
,
x 3
, . . . , x n
) sólo si cada una de las primeras derivadas parciales en ese punto es 0. Esto significa
que los puntos críticos se obtienen al resolver el sistema de ecuaciones siguiente.
f x1 x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n 0
f x2
x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n 0
f xn
x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n 0
La extensión del teorema 13.17 a tres o más variables también es posible, aunque no se
considerará en este texto.