Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler 753
π
Mary Evans Picture Library
JOHANNES KEPLER (1571-1630)
Kepler formuló sus tres leyes a partir de la
extensa recopilación de datos del astrónomo
danés Tycho Brahe, así como de la observación
directa de la órbita de Marte.
Sol
π
2
Tierra
0
Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler, las cuales deben su nombre al astrónomo alemán Johannes Kepler, se
emplean para describir las órbitas de los planetas alrededor del Sol.
1. Todo planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol.
2. Un rayo que va del Sol al planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.
3. El cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta
y el Sol.*
Aun cuando Kepler dedujo estas leyes de manera empírica, más tarde fueron confirmadas
por Newton. De hecho, Newton demostró que todas las leyes pueden deducirse de un conjunto
de leyes universales del movimiento y la gravitación que gobiernan los movimientos
de todos los cuerpos celestes, incluyendo cometas y satélites. Esto se muestra en el ejemplo
siguiente con el cometa que debe su nombre al matemático inglés Edmund Halley
(1656-1742).
EJEMPLO 3
Cometa Halley
El cometa Halley tiene una órbita elíptica, con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad
e 0.967. La longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente 35.88 unidades
astronómicas (UA). (Una unidad astronómica se define como la distancia media entre la
Tierra y el Sol, 93 millones de millas.) Hallar una ecuación polar de la órbita. ¿Qué tan cerca
llega a pasar el cometa Halley del Sol?
Figura 10.63
3π
2
Cometa
Halley
Solución
Utilizando un eje vertical, se puede elegir una ecuación de la forma
ed
r
1 e sen sin .
Como los vértices de la elipse se encuentran en y la longitud del eje
mayor es la suma de los valores r en los vértices, como se observa en la figura 10.63. Es
decir,
2a 0.967d
1 0.967 0.967d
1 0.967
35.88 27.79d.
Por tanto, d 1.204 y ed 0.9671.204 1.164. Usando este valor en la ecuación se
obtiene
1.164
r
1 0.967 sen sin
donde r se mide en unidades astronómicas. Para hallar el punto más cercano al Sol (el
foco), se escribe c ea 0.96717.94 17.35. Puesto que c es la distancia entre
el foco y el centro, el punto más cercano es
a c 17.94 17.35
0.59 AU UA
55,000,000 millas.
2
2a 35.88
32,
* Si se usa como referencia la Tierra, cuyo periodo es 1 año y cuya distancia media es 1 unidad
astronómica, la constante de proporcionalidad es 1. Por ejemplo, como la distancia media de Marte
al Sol es D 1.524 UA, su periodo P está dado por D 3 P 2 . Por tanto, el periodo de Marte es
P 1.88.