Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

Ejercicios de repaso 1053
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 27 a 30, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
27.
28. Si ƒ es continua sobre y R 2 , y
29.
30.
b
ac
R 1 dA R 2 dA
entonces
En los ejercicios 31 y 32, evaluar la integral iterada convirtiendo
a coordenadas polares.
h
d
R 1
1
11
1
1
0
0
1
00
x
b
f xg y dy dx
a
R 1
f x, y dA R 2 f x, y dA.
1
cosx 2 y 2 dx dy 40
0
1
1 x 2 2
dx dy <
y
31. x 2 y 2 dy dx 32.
Área En los ejercicios 33 y 34, usar la doble integral para
encontrar el área en la región sombreada.
33. 34.
π
2
r = 2 + cos θ
1 2 4
0
d
f x dxc
4
1
4
00
gy dy
cosx 2 y 2 dx dy
16y 2
π
2
x 2 y 2 dx dy
r = 2 sen 2θ
2
0
38. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral
iterada convirtiendo a coordenadas polares. Evaluar la integral
iterada resultante.
813 3x2
4 16x
xy dy dx
2
xy dy dx
0 0
CAS Masa y centro de masa En los ejercicios 39 y 40, hallar la masa
y el centro de masa de la lámina limitada o acotada por las gráficas
de las ecuaciones con la densidad o densidades dadas.
Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar las
integrales múltiples.
39. y 2x, y 2x 3 , primer cuadrante
kxy
a) b)
y h 2 2 x L x2
40. primer cuadrante
L 2,
CAS En los ejercicios 41 y 42, hallar I x , I y , I 0 , x, y y para la lámina
limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un
sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales
dobles.
41. y 0, y b, x 0, x a,
42. y 4 x 2 , y 0, x > 0,
Área de una superficie En los ejercicios 43 a 46, hallar el área
de la superficie dada por z fx, y sobre la región R.
43. f (x, y) 25 x 2 y 2
R {(x, y): x 2 y 2 25}
CAS 44. f x, y 16 x y 2
R x, y: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x
Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la
integral.
45. f(x, y) 9 y 2
8130
kx 2 y 2
k,
kx
ky
R: triángulo limitado por las gráficas de las ecuaciones y x,
y x y y 3.
Volumen En los ejercicios 35 y 36, utilizar una integral múltiple
y un sistema de coordenadas adecuado para hallar el volumen
del sólido.
35. Sólido limitado o acotado por las gráficas de z 0 y z h,
exterior al cilindro x 2 y 2 1 e interior al hiperboloide
x 2 y 2 z 2 1
36. Sólido restante después de perforar un orificio de radio b a
través del centro de una esfera de radio R b < R
37. Considerar la región R en el plano xy limitada o acotada por la
gráfica de la ecuación
x 2 y 2 2 9x 2 y 2 .
a) Convertir la ecuación a coordenadas polares. Utilizar una
herramienta de graficación para representar la ecuación.
b) Utilizar una integral doble para hallar el área de la región R.
CAS c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y determinar
el volumen del sólido sobre la región R y bajo el hemisferio
z 9 x 2 y 2 .
46. f(x, y) 4 x 2
R: triángulo limitado por las gráficas de las ecuaciones y x,
y x y y 2.
47. Proyectar construcción Un nuevo auditorio es construido con
un cimiento en forma de un cuarto de un círculo de 50 pies de
radio. Así, se forma una región R limitada por la gráfica de
x 2 y 2 50 2
con x 0 y y 0. Las siguientes ecuaciones son modelos para
el piso y el techo.
Piso:
Techo:
z
x y
5
z 20
xy
100
a) Calcular el volumen del cuarto, el cual es necesario para
determinar los requisitos de calor y enfriamiento.
b) Encontrar el área de superficie del techo.