Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

918 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
13.4 Diferenciales
■ Entender los conceptos de incrementos y diferenciales.
■ Extender el concepto de diferenciabilidad a funciones de dos variables.
■ Utilizar una diferencial como aproximación.
Incrementos y diferenciales
En esta sección se generalizan los conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de
dos o más variables. Recuérdese que en la sección 3.9, dada y f x, se definió la diferencial
de y como
dy fx dx.
Terminología similar se usa para una función de dos variables, z f x, y. Es decir, x y
y son los incrementos en x yeny, y el incremento en z está dado por
z f x x, y y f x, y.
Incremento en z.
DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL TOTAL
Si z f x, y y x y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales
de las variables independientes x y y son
dx x
y
dy y
y la diferencial total de la variable dependiente z es
dz z z
dx
x y dy f xx, y dx f y x, y dy.
Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo,
si w f x, y, z, u, entonces dx x, dy y, dz z, du u, y la diferencial total
de w es
dw w w w w
dx dy dz
x y z u du.
EJEMPLO 1
Hallar la diferencial total
Hallar la diferencial total de cada función.
a) z 2x sen y 3x 2 y 2 b)
Solución
a) La diferencial total dz de z 2x sen y 3x 2 y 2 es
dz z z
dx
x y dy
2 sen sin y 6xy 2 dx 2x cos y 6x 2 y dy.
b) La diferencial total dw de w x 2 y 2 z 2 es
dw w w w
dx dy
x y z dz
2x dx 2y dy 2z dz.
w x 2 y 2 z 2
Diferencial total dz.
Diferencial total dw.