Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

900 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades respecto a
la suma, diferencia, producto y cociente que los límites de funciones de una sola variable.
(Ver teorema 1.2 en la sección 1.3.) Algunas de estas propiedades se utilizan en el ejemplo
siguiente.
EJEMPLO 2
Cálculo de un límite
Calcular
Solución
y
Usando las propiedades de los límites de productos y de sumas, se obtiene
Como el límite de un cociente es igual al cociente de los límites (y el denominador no es
0), se tiene
lím lim
x, y→1, 2
lím lim
x, y→1, 2
5x 2 y
x 2 y 2.
lím lim
x, y→1, 2 5x2 y 51 2 2
10
lím lim
x, y→1, 2 x2 y 2 1 2 2 2
5.
5x 2 y
x 2 y 10
2 5
2.
EJEMPLO 3
Verificar un límite
7
6
5
−5 −4
5
x
Figura 13.21
z
2
3
4 5
y
Superficie:
5x 2 y
f(x, y) = x 2 + y 2
Calcular
Solución En este caso, los límites del numerador y del denominador son ambos 0, por
tanto no se puede determinar la existencia (o inexistencia) del límite tomando los límites
del numerador y del denominador por separado y dividiendo después. Sin embargo, por la
gráfica de ƒ (figura 13.21), parece razonable pensar que el límite pueda ser 0. En consecuencia,
se puede intentar aplicar la definición de límite a L 0. Primero, hay que observar
que
x
y y
2
≤ x2 y 2 x 2 y 2 ≤ 1.
Entonces, en un entorno de (0, 0), se tiene 0 < x 2 y 2 < , lo que, para (x, y) ≠
(0, 0) implica
fx, y 0
5 y
≤ 5 y
Por tanto, se puede elegir
lím lim
lím lim
x, y→0, 0
x, y→0, 0
5x 2 y
x 2 y 2.
≤ 5x 2 y 2
< 5.
5x 2 y
x 2 y 2 0.
5x 2 y
2 x 2 y
x 2
2 x 2 y
5
y concluir que