Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

946 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
Superficie S:
F(x, y, z) = 0
P(x 0 , y 0 , z 0 )
F
Plano tangente a la superficie S en P
Figura 13.57
En el proceso de hallar una recta normal a una superficie, se puede también resolver
el problema de encontrar un plano tangente a la superficie. Sea S una superficie dada por
Fx, y, z 0
y sea Px 0 , y 0 , z 0 un punto en S. Sea C una curva en S que pasa por P definida por la función
vectorial
rt xti y tj ztk.
Entonces, para todo t,
Fxt, yt, zt 0.
Si F es diferenciable y xt, y ¢(t) y zt existen, se sigue por la regla de la cadena que
0 Ft
F x x, y, zxt F y x, y, zyt F z x, y, zzt.
En x 0 , y 0 , z 0 , la forma vectorial equivalente es
0 Fx 0 , y 0 , z 0 rt 0 .
Gradiente
Vector
tangente
Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente de toda curva
en S que pase por P. Por tanto, todas las rectas tangentes en S se encuentran en un plano que
es normal a Fx 0 , y 0 , z 0 y contiene a P, como se muestra en la figura 13.57.
DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
Sea F diferenciable en un punto Px 0 , y 0 , z 0 de la superficie S dada por
Fx, y, z 0 tal que Fx 0 , y 0 , z 0 0.
1. Al plano que pasa por P y es normal a Fx 0 , y 0 , z 0 se le llama plano tangente a
S en P.
2. A la recta que pasa por P y tiene la dirección de Fx 0 , y 0 , z 0 se le llama recta
normal a S en P.
En el resto de esta sección, se supone Fx 0 , y 0 , z 0 π 0 a menos que se establezca lo con-
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NOTA
trario.
Para hallar una ecuación para el plano tangente a S en x 0 , y 0 , z 0 , sea x, y, z un punto
arbitrario en el plano tangente. Entonces el vector
v x x 0 i y y 0 j z z 0 k
se encuentra en el plano tangente. Como Fx 0 , y 0 , z 0 es normal al plano tangente
en x 0 , y 0 , z 0 , debe ser ortogonal a todo vector en el plano tangente, y se tiene
Fx 0 , y 0 , z 0 v 0, lo que demuestra el resultado enunciado en el teorema siguiente.
TEOREMA 13.13
ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
Si F es diferenciable en x 0 , y 0 , z 0 , entonces una ecuación del plano tangente a la
superficie dada por Fx, y, z 0 en x 0 , y 0 , z 0 es
F x x 0 , y 0 , z 0 x x 0 F y x 0 , y 0 , z 0 y y 0 F z x 0 , y 0 , z 0 z z 0 ) 0.