Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.8 Cambio de variables: jacobianos 1049
EJEMPLO 4
Un cambio de variables para simplificar un integrando
Sea R la región limitada o acotada por el cuadrado cuyos vértices son 0, 1, 1, 2, 2, 1
y 1, 0. Evaluar la integral
R x y 2 sin 2 x y dA.
y
3
2
(0, 1)
R
x − y = −1
(1, 2)
(2, 1)
2 3
(1, 0)
x + y = 1
x − y = 1
x + y = 3
x
sen 2 sen 2
Solución Obsérvese que los lados de R se encuentran sobre las rectas x y 1,
x y 1, x y 3, y x y 1, como se muestra en la figura 14.77. Haciendo
u x y y v x y, se tiene que los límites o cotas de la región S en el plano uv son
1 ≤ u ≤ 3 y 1 ≤ v ≤ 1
como se muestra en la figura 14.78. Despejando x y y en términos de u y v se obtiene
x 1 y y 1 u v.
2 u v 2
Región R en el plano xy
Figura 14.77
1
−1
v
v = 1
v = −1
u = 1
(1, 1)
1
S
Región S en el plano uv
Figura 14.78
2
u = 3
(3, 1)
(1, −1) (3, −1)
3
u
Las derivadas parciales de x y y son
x
u 1 2 ,
x
v 1 2 ,
y
u 1 2 ,
lo cual implica que el jacobiano es
2
x x 1 1
x, y
2 2
1 4 1 u, v u
y y 1
4 1 2 .
1 u v 2
Por el teorema 14.5, sigue que
1
R x y 2 sen sin x y dA 1
2
1
2
1 1
13
13
13
6
y
3
sin sen 2 v u3
dv
1
13
1
3
sen sin 2
v dv
1
13
1
6
1 cos 2v dv
1
6 v 1 2 sin 2v 1 1
6 2 1 sen
2 sin 2 1 2 sin2 sen2
2.363.
y
v 1 2
u 2 sin 2 v
1
du dv
2
sen
2 sen sin 2
3 3 1
En cada uno de los ejemplos de cambio de variables de esta sección, la región S ha
sido un rectángulo con lados paralelos a los ejes u o v. En ocasiones, se puede usar un cambio
de variables para otros tipos de regiones. Por ejemplo, Tu, v x, 1 y 2 transforma la
región circular u 2 v 2 1 en la región elíptica x 2 y 2 4 1.