Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

726 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Área de una superficie de revolución
La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede usarse
para desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma paramétrica.
TEOREMA 10.9
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Si una curva suave C dada por x f t y y gt no se corta a sí misma en un intervalo
a t b, entonces el área S de la superficie de revolución generada por
rotación de C, en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por
b
S 2
S 2
1. gt Revolución en torno al eje x: g(t) ≥ 0.
a
dx
dt 2
dy
dt 2
dt
b
2. f t Revolución en torno al eje y: f(t) ≥ 0.
a
dx
dt 2
dy
dt 2
dt
Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de arco
como
ds
dx
dt 2
dy
dt 2 dt.
Entonces las fórmulas se expresan como sigue.
b
S 2
1. gt ds 2.
a
b
S 2 f t ds
a
y
−1
y
3 ,
3 3
3 2 2
3
,
2
)
2
1
−1
−2
−3
)
( )
1
C
(3, 0)
Esta superficie de revolución tiene un área
The surface
de superficie
of revolution
de 9
has a surface area
of 9.
Figura 10.35
Figure 10.35
4
x
EJEMPLO 6
Hallar el área de una superficie de revolución
Sea C el arco de la circunferencia
x 2 y 2 9
que va desde 3, 0 hasta 32, 332, como se ve en la figura 10.35. Encontrar el área
de la superficie generada por revolución de C alrededor del eje x.
Solución
x 3 cos t
C se puede representar en forma paramétrica mediante las ecuaciones
y
(El intervalo para t se obtiene observando que t 0 cuando x 3 y t 3 cuando
x 32. En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el teorema
10.9 para obtener el área de la superficie
3
S 20
3
60
3
6
0
18 cos t
3 sen sin t dt
3
18 1 2 1
3 sen sin t3 sen sin t 2 3 cos t 2 dt
sen sin t9sin sen 2 t cos 2 t dt
0
y 3 sen sin t,
0 t 3.
Fórmula para el área de una
superficie de revolución.
Identidad trigonométrica.
9.