Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

850 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
12.3 Velocidad y aceleración
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Describir la velocidad y la aceleración relacionadas con una función vectorial.
Usar una función vectorial para analizar el movimiento de un proyectil.
EXPLORACIÓN
Exploración de velocidad
Considérese el círculo dado por
rt cos ti sin sentj.
Usar una herramienta de graficación
en modo paramétrico para representar
este círculo para varios valores
de w. ¿Cómo afecta w a la
velocidad del punto final cuando se
traza la curva? Para un valor dado
de w, ¿parece ser constante la
velocidad? ¿Parece ser constante la
aceleración? Explicar el razonamiento.
2
−3 3
−2
Velocidad y aceleración
Ahora se combina el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vectoriales
a fin de formular un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Se
empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto en
el espacio puede desarrollarse de manera similar.)
Conforme un objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x y
la coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar
ƒ y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir x xt y y yt. Por
tanto, el vector de posición rt toma la forma
rt xti ytj.
Vector de posición.
Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que se pueden usar la
primera y la segunda derivadas de la función vectorial r para hallar la velocidad y la aceleración
del objeto. (Hay que recordar del capítulo anterior que la velocidad y
la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para
hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto
Qxt t, yt t que se aproxima al punto Pxt, yt a lo largo de la curva C dada
por rt xti ytj, como se muestra en la figura 12.11. A medida que t → 0, la
dirección del vector PQ \ (denotado por r) se aproxima a la dirección del movimiento en
el instante t.
r
lím lim
t lim lím
t→0
t→0
r rt t rt
r rt t rt
t t
rt t rt
t
Si este límite existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva
en el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usado en la definición de rt. Por
tanto, la dirección de rt da la dirección del movimiento en el instante t. La
magnitud del vector rt
rt xti ytj xt 2 yt 2
da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, se puede usar rt para hallar
la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes.
y
Vector velocidad
en el instante t
y
Vector velocidad
en el instante t
∆t → 0
C
P
∆r
Q
r(t)
r(t + ∆t)
x
x
Conforme t → 0, r se aproxima al vector velocidad
t
Figura 12.11