Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.4 Centro de masa y momentos de inercia 1015
EJEMPLO 3
Hallar el centro de masa
Densidad variable:
ρ (x, y) = ky y
y = 4 − x 2
−2
−1
3
2
1
(x, y)
1 2
Región parabólica de densidad variable
Figura 14.39
x
Hallar el centro de masa de la lámina que corresponde a la región parabólica
Región parabólica.
donde la densidad en el punto x, y es proporcional a la distancia entre x, y y el eje x,
como se muestra en la figura 14.39.
Solución
Como la lámina es simétrica con respecto al eje y y
el centro de masa está en el eje y. Así, x 0. Para hallar y, primero calcular la masa de la
lámina.
2 4x
Mass
2
Masa
Después se halla el momento con respecto al eje x.
Así,
0 ≤ y ≤ 4 x 2
x, y ky
2
M x
20
4x
2
2
0
ky dy dx
2
k 2
y 2 4x2
dx
2 0
2
k 2
2
2 k 8x3
16x
3 x5
5 2 2
k 32 64
3 32
5
256k
15
yky dy dx k 2
y
3
3 4x2
dx
2 0
3
k 2
2
3 k 64x 16x3 12x5
5 x7
7 2 2
4
4096k
105
16 8x 2 x 4 dx
64 48x 2 12x 4 x 6 dx
Densidad
variable:
ρ(x, y) = ky
z
x
2
1
−2
Figura 14.40
R: −2 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 4 − x 2
Centro de masa:
( )
0, 16 7
4
y
y M x
m 4 4096k105 096k/105
256k15 16
7
y el centro de masa es 0, 16 7 .
Aunque los momentos M x y M y se pueden interpretar como una medida de la tendencia
a girar en torno a los ejes x o y, el cálculo de los momentos normalmente es un paso
intermedio hacia una meta más tangible. El uso de los momentos M x y M y es encontrar el
centro de masa. La determinación del centro de masa es útil en muchas aplicaciones, ya
que permite tratar una lámina como si su masa se concentrara en un solo punto.
Intuitivamente, se puede concebir el centro de masa como el punto de equilibrio de la lámina.
Por ejemplo, la lámina del ejemplo 3 se mantendrá en equilibrio sobre la punta de un
lápiz colocado en 0, 16 como se muestra en la figura 14.40.
7 ,