Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.3 El producto escalar de dos vectores 785
Si el ángulo entre dos vectores es conocido, reescribiendo el teorema 11.5 en la forma
u v u v cos
Forma alternativa del producto escalar.
se obtiene una manera alternativa de calcular el producto escalar. De esta forma, se puede
ver que como u y v siempre son positivos, u v y cos siempre tendrán el mismo
signo. La figura 11.25 muestra las orientaciones posibles de los dos vectores.
u
Dirección
opuesta
θ
v
cos 1
Figura 11.25
u v < 0
u θ
v
2 < <
1 < cos < 0
u v = 0
u
θ
v
2
cos 0
u v > 0
u
θ
v
0 < < 2
0 < cos < 1
Misma
dirección
u
0
v
cos 1
De acuerdo con el teorema 11.5, se puede ver que dos vectores distintos de cero forman
un ángulo recto si y sólo si su producto escalar es cero; entonces se dice que los dos
vectores son ortogonales.
DEFINICIÓN DE VECTORES ORTOGONALES
Los vectores u y v son ortogonales si u v 0.
NOTA Los términos “perpendicular”, “ortogonal” y “normal” significan esencialmente lo mismo:
formar ángulos rectos. Sin embargo, es común decir que dos vectores son ortogonales, dos rectas o
planos son perpendiculares y que un vector es normal a una recta o plano dado.
■
De esta definición se sigue que el vector cero es ortogonal a todo vector u, ya que
0 u 0. Si 0 ≤ ≤ , entonces se sabe que cos 0 si y sólo si Por tanto,
se puede usar el teorema 11.5 para concluir que dos vectores distintos de cero son ortogonales
si y sólo si el ángulo entre ellos es 2.
2.
EJEMPLO 2
Hallar el ángulo entre dos vectores
Si u 3, 1, 2, v 4, 0, 2, w 1, 1, 2, y z 2, 0, 1, hallar el ángulo
entre cada uno de los siguientes pares de vectores.
a) u y v b) u y w c) v y z
Solución
a) cos u v
u v 12 0 4
8
1420 2145 4
70
b)
c)
Como u v < 0,
radianes.
70 2.069
cos u w
u w 3 1 4
146 0
84 0
Como u w 0, u y w son ortogonales. Así,
cos v z
v z 8 0 2 10
205 100 1
Por consiguiente,
arccos 4
.
2.
Observar que v y z son paralelos, con v 2z.