Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1119
8
6
z
EJEMPLO 5
Usar una integral de flujo para hallar la tasa
o ritmo del flujo de masa
Sea S la porción del paraboloide
que se encuentra sobre el plano xy, orientado por medio de un vector unitario normal
dirigido hacia arriba, como se muestra en la figura 15.52. Un fluido de densidad constante
fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial
z gx, y 4 x 2 y 2
Fx, y, z xi yj zk.
Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S.
−4
Solución
Se empieza por calcular las derivadas parciales de g.
4
x
Figura 15.52
4
y
y
g x x, y 2x
g y x, y 2y
La tasa o el ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es
S F N dS
R F g x x, yi g y x, yj k dA
R xi yj 4 x 2 y 2 k 2xi 2yj k dA
R 2x 2 2y 2 4 x 2 y 2 dA
R 4 x 2 y 2 dA
2
0 0
12 d
0
2
2
24.
4 r 2 r dr d
Coordenadas polares.
Para una superficie orientada S dada por la función vectorial
ru, v xu, vi yu, vj zu, vk
Superficie paramétrica.
definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a través
de S como
S F N dS D F r u r v
r u r v r u r v dA
D F r u r v dA.
Nótese la semejanza de esta integral con la integral de línea
F dr F T ds. C
C
En la página 1121 se presenta un resumen de las fórmulas para integrales de línea y de
superficie.