Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1062 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Como puede verse en el ejemplo 4b, muchos campos vectoriales importantes, incluyendo
campos gravitatorios y de fuerzas eléctricas, son conservativos. Gran parte de la terminología
introducida en este capítulo viene de la física. Por ejemplo, el término “conservativo”
se deriva de la ley física clásica de la conservación de la energía. Esta ley establece
que la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula que se mueve en
un campo de fuerzas conservativo es constante. (La energía cinética de una partícula es la
energía debida a su movimiento, y la energía potencial es la energía debida a su posición
en el campo de fuerzas.)
El importante teorema siguiente da una condición necesaria y suficiente para que un
campo vectorial en el plano sea conservativo.
TEOREMA 15.1
CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL PLANO
Sea M y N dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco
abierto R. El campo vectorial dado por Fx, y Mi Nj es conservativo si y
sólo si
N
x M
y .
DEMOSTRACIÓN Para mostrar que la condición dada es necesaria para que F sea conservativo,
suponer que existe una función potencial ƒ tal que
Fx, y fx, y Mi Nj.
Entonces se tiene
f x x, y M
f y x, y N
f xy x, y M
y
f yx x, y N
x
y, por la equivalencia de derivadas parciales mixtas f xy y f yx , se puede concluir que
Nx My para todo x, y en R. Lo suficiente de la condición se muestra en la
sección 15.4.
NOTA El teorema 15.1 es válido en dominios simplemente conexos. Una región plana R es simplemente
conexa si cada curva cerrada simple en R encierra sólo puntos que están en R. Ver la figura
15.26 en la sección 15.4.
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EJEMPLO 5
Prueba de campos vectoriales conservativos
en el plano
Decidir si el campo vectorial dado por F es conservativo.
a) Fx, y x 2 yi xyj b) Fx, y 2xi yj
Solución
a) El campo vectorial dado por Fx, y x 2 yi xyj no es conservativo porque
M
y y x2 y x 2
y
N
x xy y.
x
b) El campo vectorial dado por Fx, y 2xi yj es conservativo porque
M
y y 2x 0
y
N
x y 0.
x