Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1056 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
6. La figura muestra un sólido acotado inferiormente por el plano
z 2 y superiormente por la esfera x 2 y 2 z 2 8.
z
A(b)
4
x 2 + y 2 + z 2 = 8
A(a)
V(b)
V(a)
a) Hallar el volumen del sólido utilizando coordenadas cilíndricas.
b) Hallar el volumen del sólido utilizando coordenadas esféricas.
7. Dibujar el sólido cuyo volumen está dado por la suma de las
integrales iteradas
Después, expresar el volumen mediante una integral iterada
simple con el orden dy dz dx.
8. Demostrar que lím lim
En los ejercicios 9 y 10, evaluar la integral. (Sugerencia: Ver el
ejercicio 69 de la sección 14.3.)
9.
x 2 e x2 dx
0
10.
6
0
1
−2
x
2
3 y
z2z2
0 ln 1 x dx
11. Considerar la función
f x, y
ke xya ,
0,
2
0
6
dx dy dz
0
1 1
n→
0
x ≥ 0, y ≥ 0
elsewhere. en resto.
Hallar la relación entre las constantes positivas a y k de manera
que ƒ sea una función de densidad conjunta de las variables
aleatorias continuas x y y.
12. Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región en el
primer cuadrante limitado por y e x2 alrededor del eje y. Usar
este resultado para encontrar
e x2 dx.
13. De 1963 a 1986, el volumen del lago Great Salt se triplicó, mientras
que el área de su superficie superior se duplicó. Leer el artículo
“Relations between Surface Area and Volume in Lakes” de
Daniel Cass y Gerald Wildenberg en The College Mathematics
Journal. Después, proporcionar ejemplos de sólidos que tengan
“niveles de agua” a y b tales que Vb 3Va y Ab 2Aa
(ver la figura), donde V es el volumen y A es el área.
y
12z2 6y
3 z2
dx dy dz.
x n y n dx dy 0.
Figura para 13
14. El ángulo entre un plano P y el plano xy es q, donde 0
2. La proyección de una región rectangular en P sobre el
plano xy es un rectángulo en el que las longitudes de sus lados
son ∆x y ∆y, como se muestra en la figura. Demostrar que el
área de la región rectangular en P es sec x y.
15. Utilizar el resultado del ejercicio 14 para ordenar los planos, en
orden creciente de sus áreas de superficie, en una región fija R
del plano xy. Explicar el orden elegido sin hacer ningún cálculo.
a)
b)
c)
d)
16. Evaluar la integral
0
17. Evaluar las integrales
1 1
x y
y
x y dx dy 3
00
Área: sec
z 1 2 x
z 2 5
θ
∆x
z 3 10 5x 9y
z 4 3 x 2y
0
¿Son iguales los resultados? ¿Por qué sí o por qué no?
18. Mostrar que el volumen de un bloque esférico puede ser aproximado
por
V 2
sin sen .
θ
∆x∆y
P
Área en el plano xy: ∆x∆y
1
dx dy.
1 x 2 y 2 2
1
00
1
∆y
x y
3
dy dx.
x y