Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

Características
xv
Ampliar la experiencia del cálculo
ENTRADAS DE CAPÍTULO
Las entradas de capítulo proporcionan motivación inicial para
el material que se abordará en el capítulo. Además de los
objetivos, en la entrada de cada capítulo un concepto importante
se relaciona con una aplicación del mundo real. Esto
motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del
cálculo en la vida.
6
En este capítulo se estudiará una de las
más importantes aplicaciones del cálculo:
las ecuaciones diferenciales. El lector
aprenderá nuevos métodos para resolver
diferentes tipos de ecuaciones diferenciales,
como las homogéneas, lineales de
primer orden y de Bernoulli. Posteriormente
aplicará esas reglas para resolver
ecuaciones diferenciales en problemas
de aplicación.
En este capítulo, se aprenderá:
• Cómo generar un campo de
pendientes de una ecuación
diferencial y encontrar una solución
particular. (6.1)
Ecuaciones
diferenciales
EXPLORACIONES
Las exploraciones proporcionan a los
estudiantes retos únicos para estudiar
conceptos que no se han cubierto
formalmente. Les permiten aprender
mediante el descubrimiento e introducen
temas relacionados con los que
están estudiando en el momento. Al
explorar temas de esta manera, se
estimula a que los estudiantes piensen
de manera más amplia.
Preparación del examen Putnam
133. ¿Cuál es mayor
n n1 o n 1 n
donde n 8?
134. Demostrar que si x es positivo, entonces
log e 1 1 x > 1
EXPLORACIÓN
Converso del teorema 4.4 ¿Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si
una función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y proporcionar
ejemplos.
Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál
es la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otras
condiciones?
EXPLORACIÓN
Suponer que se pide encontrar una
de las siguientes integrales. ¿Cuál
elegiría? Explicar la respuesta.
a) x3 1 dx o
x 2 x 3 1 dx
b) tan3x sec 2 3x dx o
tan3x dx
DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM
Las preguntas del examen
Putnam aparecen en algunas
secciones y se toman de los
exámenes Putnam reales.
Estos ejercicios extenderán
los límites del entendimiento
de los estudiantes en relación
con el cálculo y brindarán
desafíos adicionales para
aquellos más interesados.
• Cómo usar una función exponencial
para modelos de crecimiento y
decrecimiento. (6.2)
• Como usar el método de separación
■
de variables para resolver ecuaciones
diferenciales. (6.3)
• Cómo resolver ecuaciones
diferenciales lineales de primer
orden y la ecuación diferencial de
Bernoulli. (6.4)
1 x .
Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition.
© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
BLAISE PASCAL (1623-1662)
Pascal es bien conocido por sus
contribuciones a diversas áreas de las 1 2 3
matemáticas y de la física, así como por 100 99 98
su influencia con Leibniz. Aunque buena 101 101 101
parte de su obra en cálculo fue intuitiva y 100 101
5 050
carente del rigor exigible en las matemáticas 2
modernas, Pascal anticipó muchos
resultados relevantes.
100
i 100101 5 050.
t 1 2
PROYECTOS DE SECCIÓN
PROYECTO DE TRABAJO
Demostración del teorema fundamental
Utilizar una herramienta de graficación para representar la función
y1 sen 2 t en el intervalo 0 t . Sea F(x) la siguiente función
de x.
Los proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a
mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los
temas que se están estudiando. Proporcionan una forma
interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen
e investiguen ideas de manera conjunta.
The Granger Collection
x
Fx sen 2 tdt
0
■
Dr. Dennis Kunkel/Getty Images
Según el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cultivo
puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios días. ¿Cómo
usaría una ecuación diferencial para modelar la tasa de crecimiento del
peso del cultivo de una bacteria? (Vea la sección 6.3, ejercicio 84.)
Una función y f(x) es una solución de una ecuación diferencial, si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas
se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuación diferencial es mediante los campos de
pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuación diferencial. (Ver sección 6.1)
NOTAS HISTÓRICAS Y BIOGRAFÍAS
Las notas históricas proporcionan a los estudiantes
información sobre los fundamentos del cálculo; las
biografías les ayudan a
sensibilizar y a enseñarles
acerca de las personas que
contribuyeron a la creación
formal del cálculo.
a) Completar la tabla. Explicar por qué los valores de ƒ están creciendo.
x
Fx
0
6 3 2 23 56
LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS
El maestro de Carl Friedrich Gauss (1777-
1855) pidió a sus alumnos que sumaran
todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando
Gauss regresó con la respuesta correcta muy
poco tiempo después, el maestro no pudo
evitar mirarle atónito. Lo siguiente fue lo
que hizo Gauss:
Esto se generaliza por medio del teorema
4.2, donde
. . .
. . .
. . .
100
1
101
b) Utilizar las funciones de integración de una herramienta de graficación
para representar F.
c) Emplear las funciones de derivación de una herramienta de graficación
para hacer la gráfica de F(x). ¿Cómo se relaciona esta
gráfica con la gráfica de la parte b)?
d) Verificar que la derivada de y (12)t (sen 2t)4 es sen 2 t.
Graficar y y escribir un pequeño párrafo acerca de cómo esta
gráfica se relaciona con las de los apartados b) y c).
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