Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1089
Conservación de la energía
The Granger Collection
y
MICHAEL FARADAY (1791-1867)
Varios filósofos de la ciencia han considerado
que la ley de Faraday de la conservación
de la energía es la mayor generalización concebida
por el pensamiento humano. Muchos
físicos han contribuido a nuestro
conocimiento de esta ley; dos de los
primeros y más importantes fueron James
Prescott Joule (1818-1889) y Hermann
Ludwig Helmholtz (1821-1894).
A
F
En 1840, el físico inglés Michael Faraday escribió: “En ninguna parte hay una creación o
producción pura de energía sin un consumo correspondiente de algo que la proporcione.”
Esta declaración representa la primera formulación de una de las leyes más importantes de
la física: la ley de conservación de la energía. En la terminología moderna, la ley dice lo
siguiente: En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinética
de un objeto se mantiene constante de punto a punto.
Se puede usar el teorema fundamental de las integrales de línea para deducir esta ley.
De la física se sabe que la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v es
k 1 2 mv2 . La energía potencial p de una partícula en el punto x, y, z en un campo vectorial
conservativo F se define como px, y, z f x, y, z, donde f es la función potencial
de F. Consecuentemente, el trabajo realizado por F a lo largo de una curva suave C
desde A hasta B es
W C
F dr f x, y, z
B
como se muestra en la figura 15.25. En otras palabras, el trabajo W es igual a la diferencia
entre las energías potenciales en A y B. Ahora, supóngase que rt es el vector posición
de una partícula que se mueve a lo largo de C desde A ra hasta B rb. En cualquier
instante t, la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula son v(t) = r¢(t), a(t) =
r(t) y vt vt, respectivamente. Así, por la segunda ley del movimiento de Newton,
F mat mvt, y el trabajo realizado por F es
b
W F dr
C a
b
a
b
px, y, z
B
pA pB
F rt dt
b
F vt dt mvt vt dt
a
mvt vt dt
a
m b
d
2
vt vt dt
a dt
m b
d
2
dt vt2 dt
a
A
m 2 vt2 b a
A
C
m 2 vt2 b a
1 2 mvb 2 1 2 mva2
B
x
El trabajo realizado por F a lo largo de C es
W F dr pA pB.
C
Figura 15.25
kB kA.
Igualando estos dos resultados obtenidos para W se tiene
pA pB kB kA
pA kA pB kB
lo cual implica que la suma de energías potencial y cinética permanece constante de punto
a punto.