Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.2 15.2 Integrales Line Integrals de línea 1079
15.2 Exercises Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
15.2 Line Integrals 1079
15.2 Line Integrals 1079
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15.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
En los ejercicios 1 a 6, hallar una parametrización suave a trozos
de la trayectoria C. C. (Nótese que existe más de una respuesta correcta.)
In Exercises y 1–6, find piecewise smooth y parametrization of
In Exercises 1–6, find a piecewise smooth parametrization of
the 1. path yC.
(Note that there is more 2. than y one
C
correct answer.)
the path
(Note y = xthat there is more than one correct (2, 4) answer.)
4 C
1. y y = x (1, 1) 2. y (2, 4)
1. 1 y
2. 4 y
(1, 1)
3
1 C
34
C (2, 4)
y = x
(2, 4)
C (1, 1)
24
1 y = x(1, 1)
y = x 2
1
23
y = x
13
y = x 2
C
12
1
x
2
2
y = x
y = x 2
1
1 1 2 3 4 x
1
1 2 3 4
y
1
1
y
3. y
4. y 1 2 3 4
(3, 3)
1 2 3 4
3
(3, 3)
3. y
5
3
4. y
3. y
4. y (5, 4)
4
2
(3, 3)
23
(3, 3)
3
C
3
C
C
1
2
1
2
2
1
C
1
x
x
1 1 2 3
1 2 3
1 2 3 4 5
y
y
5. 1 y 2x 2 + y3
2 = 9
1 2
6.
y
x 2 3
+ y 2 = 9
x 2 y 2
5. y
4 16 + 9 = 1
2
6.
y
5. y
2 2 6.
y
21
x 2 + y 2 = 9
2
1
2
−2 −1 2 1 2 x
x
1
−2 −1 1 1 2
−2 2
−2
−2
−2 −1 −2 1 C2
−2 −1 1 2
C
C
−2
−4
−2
C
En los ejercicios 7 a 10, evaluar la integral de línea a lo largo de
la In trayectoria Exercises dada. 7–10, evaluate the line integral along the given
In Exercises 7–10, evaluate the line integral along the given
path. xy ds
3 x y ds
path.
C
C
7.
C:
xy
r
ds
t 4ti 3tj
8.
C:
3
r
x
t
y
ti
ds
7.
2 t j
C xy ds
8. C
ds
7. xy ds
8. 3 x y ds
C
C: r0t t4ti 1
C
3tj
C: r0t tti 2
C
C 2 t j
C: 4ti 3tj
C: ti C: 0r x 2 t t 4ti
y 2 1
z 2 3tj
C:
ds
0r t
2xyz
t ti
ds
2 2 t j
C 0 t 1
9.
C:
x
r 2 t
y 2 sen
z
ti 2 C0 t 2
ds
cos tj 2k
10.
C:
2xyz
r t
ds
9.
12ti 5tj 84tk
C
2 2 2 ds 10. C 2xyz ds
9. x
C
C: r0 2 y
t t 2 z
sen ti 2
2 ds 10. 2xyz ds
C
cos tj 2k C: r0t t12ti1
C
C
5tj 84tk
C: sen ti cos tj 2k C: 12ti 5tj 84tk
C: 0r t t sen 2ti cos tj 2k C: 0r t t 12ti 1 5tj 84tk
C,
0 t 2
0 t 1
En los ejercicios 11 a 14, a) hallar una parametrización de la
trayectoria In Exercises C, 11–14, y b) evaluar (a) find parametrization of the path C, and
In Exercises 11–14, (a) find a parametrization of the path C, and
(b) xevaluate
2 y 2 ds
(b) evaluate
C
x C
2 y 2 ds
2 C.
2 ds
x 2 y 2 ds
C
a Clo largo
C:
de C.
0, 0 1, 1
along C.
11. along
C: C.
segmento de recta de
0, 0 a 1, 2, 14
12.
11. C:
segmento de de recta de de
0,
0, 2,
1,
4
11. C: segmento de recta de 0, 0 a 1, 1 x 2 y 2 1 1, 0
13.
12. C:
círculo
segmento 0, 1 x 2
de
y
recta 2 1
de
recorrido
0, 2,
en 12. C: segmento de recta de 0, 0 a 2, 4 sentido contrario a las
13. C: manecillas counterclockwise del reloj, around desde the 1, circle 0 hasta
2 0, 1
2 from 1, 13. C: counterclockwise around the circle x from 1, 0
to 0, 2 y 2 1
to 0, 1
14. C:
círculo x 2 y 2 4 recorrido en xsentido 2 y 2 contrario 4 2, a 0las
manecillas 0, 2 del reloj, desde 2, 0 a 0, 2
14. C: counterclockwise around the circle 2 2 from 2, 14.
En los
C: counterclockwise
ejercicios 15 a 18,
around
a) hallar
the circle
una
x
to 0, parametrización 2 y 2 4 from 2,
de C, 0
la
trayectoria
to 0,
C,
2
y b) evaluar
In Exercises 15–18, (a) find parametrization of the path C,
In Exercises 15–18, (a) find a parametrization of the path C,
and x x(b) evaluate 44y y ds
and (b) evaluate
C C
a lo largo C.
de C. ds
x 4 y ds
C
C
15. C: eje x de x 0 a x 1
along C.
16. along C: C. eje y de y 1 a y 9
15.
17. C: eje de 15. C:
eje triángulo x de xcuyos 0 avértices x 1 son (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorrido 0, 0
16. C: en eje 1, sentido 0 , de contrario 0, a las 16. C: eje y de y 1 a y 9 manecillas del reloj
18. 17. C: cuadrado counterclockwise cuyos vértices around son the (0, triangle 0), (2, with 0), vertices (2, 2) y (0, 2),
17. C: counterclockwise around the triangle with vertices 0 ,
recorrido 2, 1, and 2, en 2 0, sentido 1, 0 , and 0, 1
0, contrario 2 a las manecillas del reloj
18. C: counterclockwise around the square with vertices 0, 18. En los C: ejercicios counterclockwise 19 y 20, around a) encontrar the square una parametrización with vertices 0, continua
por 2, secciones 0 , 2, C2
, de and la 0, trayectoria 2 C que se muestra en la figu-
0 ,
2, 2, and 0, ra In Exercises y b) evaluar 19 and 20, (a) find piecewise smooth parametrization
2xof the y 2 path z dsshown in the figure, and (b) evaluate
In Exercises 19 and 20, (a) find a piecewise smooth parametrization
C
of the path C shown in the figure, and (b) evaluate
2x y C
2 z ds
2xC.
2
ds
2x y 2 z ds
C
aClo largo de C.
along C.
along 19. C. z
20.
19. z
20.
z
19. 20.
z (0, 1, 1)
1 z
z
1 z
(1, 0, 1)
1 (0, 1, 1)
1
C
(1, 0, 1)
C
(0, 0, 0)
(0, 0, 0)
(0, 1, 1)
1
1 (0, 1,
C
(0, 1)
1
1
1, 0)
(1, 0, 1)
(1, (0, 0, 0)
(0, 0, 0) C0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
C
1
y
(1, 0, 0) (0, 0, 0)
(0, 0, 0)
x
1 (0, 0, 0)
(0, 1, 0)
C (1, (0, 1, 0, 1) 0) 1
(0, 1, 0)
x
1
y
(1, 0, 0) (1, 1, 1) y
y
(1, 0, 0)
1
1 y
x
1
x
(1, 1, 1) x 1
(1, 1, 1) y
y
Masa En los ejercicios 21 y 22, hallar la masa total de dos
vueltas Mass In completas Exercises de 21 un and resorte 22, find de densidad the total mass y que of tiene two forma turns
Mass In Exercises 21 and 22, find the total mass of two turns
de of hélice spring circular with density in the shape of the circular helix
of a spring with density in the shape of the circular helix
r t cos ti sen tj tk, rt 2 cos ti 2 sen tj tk, 0 t 4 .
21.
x, z 1
x, y, 12 2x 2 2 21.
y, z
2
2 x 2 y 2 z 2
22.
x,
x, y, z 22.
y, z z
Mass In Exercises 23–26, find the total mass of the wire with
Mass Masa In En Exercises los ejercicios 23–26, a find 26, the hallar total la masa mass of total the del wire cable with de
density
density densidad . .
23.
cos ti sen tj, x, y,
23. r t cos ti sen tj, x, y x y, 0 t
24.
t2 2tj, x, 24. r t 3
y,
t2 i 2tj, x, y 0 t 1
4 y,
25.
2 2tj tk, x, y, kz
0,
25. r t t 2 i 2tj tk, x, y, z kz k > 0 , 1 t 3
26.
cos ti sen tj 3tk, x, y, 26. r t 2 cos ti 2 sen tj 3tk, x, y, z k z
0,
k > 0 , 0 t 2