Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

904 904 CAPÍTULO
Chapter 13
13
Functions
Funciones
of Several
de varias
Variables
variables
904
904
Chapter
Chapter
13
13
Functions
Functions
of
of
Several
Several
Variables
Variables
x
x
x
x
z
z
z
z
(x
(x 0 , y
0 0 , z
0 0 )
0 (x 0 , y 0 , z 0 )
(x 0 , y 0 , z 0 ) δ
δ
δ
δ
Open sphere in space
Esfera abierta en el espacio
Figure
Figura Open 13.28
Open
sphere
sphere 13.28in in
space
space
Figure
Figure
13.28
13.28
y
y
y
En In Exercises los ejercicios 1–4, 1 use a 4, the utilizar definition la definición of the limit de límite of a de function una función
two In variables de dos variables to verify para the verificar limit. el límite.
of
In
Exercises
Exercises
1–4,
1–4,
use
use
the
the
definition
definition
of
of
the
the
limit
limit
of
of a
function
function
of
of
1.
two
two
variables
variables lím x to
to 1 verify
verify
the
the
limit.
limit. 2. lím x 4
x, y → 1, 0 x, y → 4, 1
3. 1.
1. lím y 3 4. 2. lím lím y x b
x, x, y → lím x 1, 1, 03 x 1
2.
x, x, y →lím
a, 4, b 1 x 4
x, y
3.
In Exercises lím
→ 1, 0
4.
5–8, y find x, y → 4, 1
3.
lím
the indicated limit by using y x, y → the limits
En los ejercicios lím 1, 3 y x, y → a, b
5 a 3 4. lím
8, hallar el límite indicado y utilizando b
x, y → 1, 3 x, y → a, b
los
límites
In
In Exercises
Exercises fx, 5–8, y 5–8,
find 4 find
the
the y
indicated
indicated lím
limit
limit gx, y
by
by
using
using 3.
the
the
limits
limits
x, y lím
→ a, b fx, y x, y → a, b lím gx, y 3.
x, y → a, b y x, y lím → a, b g x, y 3.
5.
lím
x, y →lím
f x, a, b fx, y y
4 g x, y x, y → a, b
Continuidad Continuity de of a una Function función of de Three tres variables Variables
Las
The definiciones
Continuity preceding
anteriores
definitions
of of a Function
de límites
of limits
of
y
of
continuidad
and Three continuity pueden
Variables can
extenderse
be extended
a funciones
to functions
de tres
of
variables
three The variables
considerando
by considering
los puntos
points
x, y, z
x,
dentro
y, z within
de la esfera
the open
abierta
sphere
The
preceding
preceding
definitions
definitions
of
of
limits
limits
and
and
continuity
continuity
can
can
be
be
extended
extended
to
to
functions
functions
of
of
three
three
variables
variables
by
by
considering
considering
points
points
x,
x,
y,
y,
z
z
within
within
the
the
open
open
sphere
sphere
x x 0 2 2
y y 0 2 2
z z 0 2 2
x x 0 y y 0 z
<
z
2 0 .
< 2
. Open sphere
Esfera abierta.
2 2 2 0 0 z z 0 2
2 2 2 Open sphere
x x
.
0 y y 0 z z 0 < 2
. Open sphere
El radio de esta esfera es , y la esfera está centrada en x 0 , y 0 , z 0 , como se muestra en la
The radius of this sphere is , and the sphere is centered at x
figura 13.28. Un punto x 0 , y 0 , z 0 en una región R en el espacio es un 0 , y
punto 0 , z 0 , as shown in
interior de R
Figure
si existe
The 13.28. A point x
una -esfera centrada 0 , y 0 , z in a region R in space is an interior point of R if there
The
radius
radius
of
of
this
this
sphere
sphere
is
is en 0 ,
, x
and
and 0 , y
the
0
the , z
sphere
0 sphere que está
is
is
centered
centered contenida
at
at completamente x 0 , 0 , z 0 , as shown
en R.
in
Si
exists a -sphere about x that lies entirely in If every in is an
todo punto de R es un punto interior, , y , z R. 0 , y 0 , z 0 , as shown in
Figure Figure
13.28.
13.28. A
point
point x 0 , 0 , z 0 in 0
entonces region se
in
dice
space
que
is
R
an
es
interior
una región
point
abierta.
of if there
interior point, then R is called 0 , y 0 , z
open. 0 in a region R in space is an interior point of R if there
exists
exists a
-sphere
-sphere
about
about x 0 , 0 , z 0 that lies entirely in R. If every point in is an
0 , y 0 , z 0 that lies entirely in R. If every point in R is an
interior
interior
point,
point,
then
then
R
is
is
called
called
open.
open.
DEFINICIÓN DEFINITION CONTINUIDAD OF CONTINUITY DE UNA OF FUNCIÓN A FUNCTION DE TRES OF VARIABLES THREE VARIABLES
Una A
DEFINITION
función DEFINITION function f de f of
OF
tres OF three
CONTINUITY
CONTINUITY variables variables continua is
OF
OF continuous A
FUNCTION
FUNCTION en un at punto a
OF
OF point
THREE
THREE x 0 , xy 0 ,
0 , y
VARIABLES
VARIABLES z 0 ,
0 z 0 de in una an región open
abierta region R si Rfx if 0 , xy 0 , yz 0 , zestá 0 is definido defined y and es is igual equal to límite the limit de fx, of y, fx, z y, cuando z as
A
function
function
f
f
of
of
three
three
variables
variables
is
is
continuous
continuous
at
at a
point
point
x 0 , 0 , z 0 in x, open y, z
se aproxima x, y, z approaches a x 0 , y z . xEs 0 , ydecir,
0 , z 0 . That is,
0 , y 0 , z 0 in an open
region
region R
if
if
f
f x 0 , 0 , z 0 is defined and is equal to the limit of fx, y, z as
0 , y 0 , z 0 is defined and is equal to the limit of fx, y, z as
x,
x,
y,
y,
z
lím lim
z
approaches
approaches lím
x, y, z → x fx, fx, y, z x 0 ,
y, 0 z
, fx z 0 .
0 , f
That y x
0 , 0 , z y
is,
0 , y 0 , z 0 . That
x, y, z→x 0 , y 0 , z 0 , y
0
0. 0 is, , z 0 .
0 , z 0
lím fx, y, z f La función The function x, y, z límx f es continua 0 f, yis 0 , zcontinuous 0
fx, y, z
en una in f
región the x 0 , open 0 , z 0 .
0 , y
abierta 0 , z 0 region .
x, y, z → x 0 , y 0 , z 0 R si Res if continua it is continuous en todo at punto every
de R. point The function in R.
The function
f
f
is
is
continuous
continuous
in
in
the
the
open
open
region
region
R
if
if
it
it
is
is
continuous
continuous
at
at
every
every
point
point
in
in
R.
R.
EJEMPLO 6 Continuidad de una función de tres variables
EXAMPLE 6 Testing Continuity of a Function of Three Variables
La función EXAMPLE Testing Continuity of Function of Three Variables
The EXAMPLE function 6 Testing Continuity of a Function of Three Variables
1
The
The fx, function
function y, z
fx, y, z x 2 y 2 1 z
x 2 y 2 z
es continua fx,
fx, en y,
y,
ztodo z punto 1en el espacio excepto en los puntos sobre el paraboloide dado
por is z continuous x 2 y 2 . at each x 2 2 point y 2 2 in
z
z space except at the points on the paraboloid given by
zis continuous x 2 y 2 .
is continuous
at
at
each
each
point
point
in
in
space
space
except
except
at
at
the
the
points
points
on
on
the
the
paraboloid
paraboloid
given
given
by
by
z x 2 2 y 2 2 .
.
13.2 Exercises Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
13.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
5.
5.
6.
6.
7. 6.
7.
7.
8.
8.
8.
x, y → a, b
lím
lím
lím
x, y → a, b
x, y → a, b
x, y → a, b
lím
lím lím
x, y → a, b
x, x, y y→ →a, a, b b
lím
lím
lím
x, y → a, b
x, y → a, b
x, y → a, b
lím
lím
x, y → a, b
x, y → a, b
5f fx,
f x, y
y
g
x,
x,
y
y
5f gx, y
5f
x,
x,
y
y
fx, gx,
g x,
yygx, y
y
fx, fx,
f x, y
y
gx,
g x, gy
yx, y
fx, yfx, y
f x, y
g
x,
x,
y
y
fx,
f x,
y
y
In En Exercises los ejercicios 9–22, 9 find a 22, the calcular limit and el discuss límite y the analizar continuity la continuidad
In function. de la función.
of
the
In
Exercises
Exercises
9–22,
9–22,
find
find
the
the
limit
limit
and
and
discuss
discuss
the
the
continuity
continuity
of
of
the
the 9.
function.
function. lím 2x 2 y 10. x 4y 1
lím
x, y → 2, 1
x, y → 0, 0
9.
9.
lím
10. lím xx y4y x, y →lím
2x
2, 1 2x 2
11. lím
2 y
y 10. x, y lím → 0, 0 x 4y 1
x, y → 2, 1
12. x, lím y → 0, 0
x, y → 2, 4 xx
2 1y
11. lím
12. lím
x, y → 1, 2 x
exy x y
11. lím
12. x, y lím → 2, 4 x 2 y
13.
x,
lím
y → 1, 2 exy 14.
x, ylím
→ 2, 4 x 2 1
x, y → 0, 2 yx
x, y → 1, 2
x
y
13. lím x
14. lím x y
13. x, y lím → 0, 2 y xy
14. x, y →lím1, 2 x x y
15.
x,
lím
y → 0, 2 y
16. lím
x, y → 1, 1 x 2 y 2 x, y → 1, 2 x y
xy
x, y → 1, 1 xx
y
15. lím xy
16. lím
x, y → 1, 1 x 2
17. lím y cos y 2 xy x, y → 1, 1
18. lím sen x x x
15. lím
16. lím
x, y → 1, 1 x 2 y 2 x, y → 1, 1 x
y
x, y → 4, 2 x, y → 2 , 4 y
17. lím
18. lím
arcsen y cos xy
xy x, y → 2 , 4arccos sen x y
17. x, y →lím4, 2 18.
y xy
19. lím
y cos xy lím
20. lím
sen x x, y → 4, 2 x, y → 2 , 4 y
x, y → 0, 1 arcsen 1 xy xy
x, y → 0, 1 arccos 1 xy x y
19. lím arcsen xy 20. lím arccos xy
21. 19. x, y lím → 0, 1
xxy
y z 22. 20. x, y →lím
0, 1
x, y, z 1, 3, 4
x, y, z 2, 1, 0 xeyz xy
x, y → 0, 1 1 xy
x, y → 0, 1 1 xy
21.
21.
lím
lím
x
x
y
y
z
z
22.
22.
lím
lím
x, y, z → 1, 3, 4
x, y, z → 1, 3, 4
x, y, z → 2, 1, 0 xeyz
x, y, z → 2, 1, 0 xeyz