Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

Solución de problemas 1055
SP
Solución de problemas
1. Hallar el volumen del sólido de intersección de los tres cilindros
x 2 z 2 1, y 2 z 2 1, y x 2 y 2 1 (ver la figura).
−3
3
x
2. Sean a, b, c y d números reales positivos. El primer octante del
plano ax by cz d se muestra en la figura. Mostrar que el
área de la superficie de esta porción del plano es igual a
AR
c a2 b 2 c 2
3
−3
z
3
donde AR es el área de la región triangular R en el plano xy,
como se muestra en la figura.
z
y
−3
3
x
3
−3
z
3
y
d) Demostrar la identidad trigonométrica
1 sen sin
cos
e) Demostrar que
tan
2
2 .
2
I 2
ƒ) Utilizar la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita
para verificar que
1 1
1
n
1
dx dy.
2 1 xy
g) Utilizar el cambio de variables u x y y v y x para
2 2
demostrar que
1 1
1
n
1
2 1 xy dx dy I 1 I 2
2
6 .
n1
n1
4. Considerar un césped circular de 10 pies de radio, como se muestra
en la figura. Supóngase que un rociador distribuye agua de
manera radial de acuerdo con la fórmula
f r r
16 r2
160
(medido en pies cúbicos de agua por hora por pie cuadrado de
césped), donde r es la distancia en pies al rociador. Hallar la cantidad
de agua que se distribuye en 1 hora en las dos regiones anulares
siguientes.
A r, : 4 ≤ r ≤ 5, 0 ≤
B r, : 9 ≤ r ≤ 10, 0 ≤
u2
22u2
00
≤ 2}
≤ 2}
2
2 u 2 2
dv du
v
00
2
9 .
¿Es uniforme la distribución del agua? Determinar la cantidad de
agua que recibe todo el césped en 1 hora.
x
3. Deducir el famoso resultado de Euler que se menciona en la sección
9.3,
1
completando cada uno de los pasos.
n
2
2 6 ,
n1
a) Demostrar que
dv
2 u 2 v 1
2 2 u arctan v
2 2 u C. 2
b) Demostrar que
utilizando la sustitución
c) Demostrar que
u2
22u2
2
I 2
2
46
22
I 1
u
0 u
2
2 u 2 2
dv du
v
arctan 1 sen sin
cos
u 2 sin sen.
d
utilizando la sustitución u 2 sin sen.
R
y
2
dv du
2 u 2 v2 2
18
B
5. La figura muestra la región R limitada o acotada por las curvas
y x, y 2x, y
x2
y y x2
Utilizar el cambio de
3 , 4 .
variables x u 13 v 23 y y u 23 v 13 para hallar el área de la
región R.
y
A
y = 1 x 2
3
R
4 pies
1 pie
y =
y =
y = 1 x 2
4
x
2x
x