Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 793
NOTACIÓN PARA LOS PRODUCTOS ESCALAR
Y VECTORIAL
La notación para el producto escalar y para
el producto vectorial la introdujo el físico
estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-
1903). A comienzos de la década de 1880,
Gibbs construyó un sistema para representar
cantidades físicas llamado “análisis vectorial”.
El sistema fue una variante de la
teoría de los cuaterniones de Hamilton.
EJEMPLO 1
Hallar el producto vectorial
Dados u i 2j k y v 3i j 2k, hallar cada uno de los siguientes productos
vectoriales.
a) u v b) v u c) v v
Solución
a) u v
b)
v u
i
1
3
i
3
1
j
2
1
j
1
2
k
1
2
2 1
3i 5j 7k
1 1
1 2
2
i 3 1
2
1
j 3 1
1 4i 3 2j 6 1k
k
2
1
2 i 1 3
4 1i 2 3j 1 6k
3i 5j 7k
1
2 j 1 3
2
1 k
1
2 k
c)
Notar que este resultado es el negativo del obtenido en el inciso a).
i j k
v v 3 1
0
3 1 2
Los resultados obtenidos en el ejemplo 1 sugieren algunas propiedades algebraicas
interesantes del producto vectorial. Por ejemplo, u v v u, y v v 0. Estas
propiedades, y algunas otras, se presentan en forma resumida en el teorema siguiente.
TEOREMA 11.7
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL
Sean u, v y w vectores en el espacio, y sea c un escalar.
1. u v v u
2. u v w u v u w
3. cu v cu v u cv
4. u 0 0 u 0
5. u u 0
6. u v w u v w
DEMOSTRACIÓN Para demostrar la propiedad 1, sean u u 1 i u 2 j u 3 k y v = v 1
i +
v 2
j + v 3
k. Entonces,
y
u v u 2 v 3 u 3 v 2 i u 1 v 3 u 3 v 1 j u 1 v 2 u 2 v 1 k
v u v 2 u 3 v 3 u 2 i v 1 u 3 v 3 u 1 j v 1 u 2 v 2 u 1 k
la cual implica que u v v u. Las demostraciones de las propiedades 2, 3, 5 y 6
se dejan como ejercicios (ver ejercicios 59 a 62).