Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

864 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
EJEMPLO 5
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para el vector posición dado
por rt 3ti tj t 2 k.
Solución
Para empezar se halla la velocidad, la rapidez y la aceleración.
vt rt 3i j 2tk
vt 9 1 4t 2 10 4t 2
at rt 2k
De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es
a T v a
v 4t
10 4t 2
y como
2
i j k
v a 3 1 2t 2i 6j
0 0
la componente normal de la aceleración es
a N
v a
v
4 36
10 4t 210
2 10 4t 2.
Componente tangencial de la aceleración.
Componente normal de la aceleración.
NOTA
En el ejemplo 5 se podría haber usado la fórmula alternativa siguiente para .
a N a 2 a T2 2 2
16t2
10 4t 210
2 10 4t 2
a N
■
a N = b
z
b
EJEMPLO 6 Hallar y para una hélice circular
a T
a N
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para la hélice dada por
rt b cos ti b sen sin tj ctk, b > 0.
Solución
vt rt b sen sin ti b cos tj ck
vt b 2 sen sin 2 t b 2 cos 2 t c 2 b 2 c 2
at rt b cos ti b sen sin tj
De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es
a T v a
v
b2 sen sin t cos t b 2 sen sin t cos t 0
0.
b 2 c 2
Componente tangencial
de la aceleración.
x
La componente normal de la aceleración es
igual al radio del cilindro alrededor del
cual la hélice gira en espiral
Figura 12.26
y
Como a b 2 cos 2 t b 2 sen sin 2 t b, se puede usar la fórmula alternativa para la componente
normal de la aceleración para obtener
a N a 2 a T2 b 2 0 2 b.
Componente normal
de la aceleración.
Nótese que la componente normal de la aceleración es igual a la magnitud de la aceleración.
En otras palabras, puesto que la rapidez es constante, la aceleración es perpendicular
a la velocidad. Ver la figura 12.26.